Кинема́тика твёрдого тела (от др.-греч. κίνημα — движение) — раздел кинематики, изучающий движение абсолютно твёрдого тела (системы материальных точек с неизменными расстояниями), не вдаваясь в вызывающие его причины. В силу относительности движения, обязательно указание системы отсчёта, относительно которой описывается движение.
Особенность твёрдого тела позволяет ввести связанную с ним ортонормированную систему координат
с центром в точке
(произвольной точке, связанной с этим телом). Тогда в абсолютной ортонормированной системе
, координату произвольной точки твёрдого тела можно выразить:
, причём т.к. тело абсолютно твёрдое:
, но
.
Пусть
. В частности, преобразование можно задать с помощью углов Эйлера.
Так как базисы ортонормированы,
ортогональна, вследствие чего
.
Скорость произвольной точки тела тогда:
![{\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\begin{pmatrix}{\dot {\vec {e}}}_{\xi }\\{\dot {\vec {e}}}_{\eta }\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta }\end{pmatrix}}={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\dot {\hat {A}}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f4fd9ea1474c4c26f6c5b2531871678cb6a4b7)
Дифференцирование
приводит
, что означает антисимметричность
, которую можно записать
![{\displaystyle {\hat {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&\omega _{\zeta }&-\omega _{\eta }\\-\omega _{\zeta }&0&\omega _{\xi }\\\omega _{\eta }&-\omega _{\xi }&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d519088a50aa14522280d2caf0cf534b6165393e)
Обозначения мотивированы введением
(вектора угловой скорости). Тогда:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\vec {e}}}_{\xi }=\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\eta }-\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\zeta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\xi }],\\{\dot {\vec {e}}}_{\eta }=-\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\zeta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\eta }],\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta }=\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\xi }-\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\eta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\zeta }];\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f82d481a199cf986caef796781cdb8ddce9592)
Полученные выражения иначе называют формулами Пуассона.
Формула Эйлера фиксирует связь между скоростями различных точек
твёрдого тела:
![{\displaystyle {\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4550a278839201140981a5e590599db1705ca93c)
- Если
, то
.
инвариантен по отношению к выбору подвижной системы координат.
- Вектор угловой скорости связан с полем скоростей точек тела
.
Формула Ривальса связывает ускорения различных точек
твёрдого тела.
Для
(вектора углового ускорения), с учётом того, что
, дифференцирование формулы Эйлера приводит к:
![{\displaystyle {\vec {a}}_{B}={\vec {a}}_{A}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {AB}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f90362e8290876c79fc6513165cea387a8ec08)
Последний член в формуле Ривальса определяет осестремительное ускорение.
Для случаев затруднительного описания движения твёрдого тела относительно неподвижной СО, вводятся формулы сложного движения (т.е. описывающие движение относительно подвижной СО).
Для абсолютной системы отсчёта
и подвижной
.
![{\displaystyle {\vec {r}}_{S/O}={\vec {r}}_{S/P}+{\vec {r}}_{P/O}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ce6b056f17bb85509124be93367e151210dd3c8)
Радиус-вектор к точке
в абсолютной СО равен сумме относительного радиус-вектора и переносного
Дифференцирование по времени формулы для радиус-вектора приводит к формуле сложения скоростей
, где
— угловая скорость вращения подвижной СО.
— абсолютная скорость точки
,
— относительная скорость,
- Слагаемое же
называют переносной скоростью, которая связана с изменением положения подвижной СО.
Повторное дифференцирование даёт
, где
— угловое ускорение подвижной СО.
— абсолютное ускорение,
— относительное ускорение,
— переносное ускорение,
— кориолисово ускорение.
Запись формулы Эйлера в подвижной СО, вращающейся с угловой скоростью
(само тело здесь вращается с
) приводит к:
, что верно для произвольного выбора точек
, откуда
![{\displaystyle {\vec {\omega }}_{S/O}={\vec {\omega }}_{P/O}+{\vec {\omega }}_{S/P}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adfbd81e970b96297739da73eb41e4fd5de2c13d)
Иначе, абсолютная угловая скорость равна сумме относительной и переносной.
- Мгновенно-винтовое движение, характеризуемое тем, что найдётся
(мгновенно-винтовая ось), такая что для всякой точки
. В каждый момент времени всякое движение можно представить мгновенно-винтовым.
- Мгновенно-поступательное движение характеризуется тем, что
, в таком случае скорости всех точек тела одинаковы (в данное мгновение).
- Мгновенно-вращательное движение, частный случай мгновенно-винтового, т.е. найдётся
такая что все точки на ней неподвижны. Прямая
в таком случае — мгновенная ось вращения.
- Плоско-параллельное движение осуществляется, если каждая точка тела движется параллельно неподвижной плоскости (пусть
), тогда
. По аналогии с мгновенно-винтовой осью, для плоско-параллельного движения можно выбрать мгновенный центр скоростей — мгновенно-неподвижную точку
. Положение
меняется как в неподвижной, так и в подвижной (связанной с телом) системах координат. Для геометрического места точек мгновенного центра скоростей в неподвижной СО употребляют термин неподвижная центроида, тогда как в подвижной СО, соответственно, подвижная центроида.
- Вращение вокруг неподвижной точки. По формуле Эйлера, если
неподвижна, то неподвижна и
(мгновенная ось вращения). Геометрическое место осей вращения называют неподвижной и подвижной аксоидами (в зависимости от рассматриваемой СО)
В случае, если переход к подвижной СО выполнен с помощью углов Эйлера, справедливы следующие формулы для компонент угловой скорости:
![{\displaystyle \omega _{\xi }={\dot {\varphi }}\sin \theta \sin \psi +{\dot {\theta }}\cos \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f905d1d6fc2bfe92dd09c072a24fe4a3e00b935)
![{\displaystyle \omega _{\eta }={\dot {\varphi }}\sin \theta \cos \psi -{\dot {\theta }}\sin \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81de92ad5b2cafee7ae5313fedcd955f4a9d66f3)
![{\displaystyle \omega _{\zeta }={\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }}\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc189a8bca064ced0f15469ea7651ac88dcd7a2)
— угол прецессии,
— угол нутации,
— угол собственного вращения.
- Теоретическая механика/Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В. — М., 2010.
- Общий курс физики Т.I. Механика/Сивухин Д.В. — М., 1979. — $7, с. 45-47