Бином Ньютона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n - k} b^k = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n - 1}b + \dots + {n\choose k}a^{n - k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n

где {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n - k)!} — биномиальные коэффициенты, n — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число. В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Доказательство[править | править вики-текст]

Обобщения[править | править вики-текст]

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции (1+x)^r в ряд Тейлора:

(1+x)^r=\sum_{k=0}^{\infty} {r \choose k} x^k,

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-(k-1))}{k!}\,

При этом ряд

(1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+....

сходится при |z|\le 1.

В частности, при z=\frac{1}{m} и \alpha=x\cdot m получается тождество

\left(1+\frac{1}{m}\right)^{xm}=1+x+\frac{xm(xm-1)}{2\; m^2}+...+\frac{xm(xm-1)\cdots(xm-n+1)}{n!\; m^n}+\dots.

Переходя к пределу при m\to\infty и используя второй замечательный предел \lim_{m\to\infty}{\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}}=e, выводим тождество

e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots,

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема[править | править вики-текст]

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

(x_1+x_2+\cdots +x_m)^n =\sum\limits_{k_j\geqslant 0, k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1}\ldots x_m^{k_m},

где \textstyle \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_m!}мультиномиальные коэффициенты. Сумма берется по всем неотрицательным целым индексам k_j, сумма которых равна n (т.е. по всем композициям числа n длины m). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения x_j^0=1, даже если x_j=0.

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо по индукции по m, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При m=2, выражая k_2=n-k_1, получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла[править | править вики-текст]

Пусть B_n(a_s)= B_n(a_1,\dots,a_n) и B_0=1 ,тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

B_n({{a_s}+{b_s}})=\sum_{i+j=n} {n\choose i,\ j}{B_i}({a_s}) {B_j}({b_s}).

История[править | править вики-текст]

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век).

Исаак Ньютон около 1676 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе[править | править вики-текст]

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.[1]

Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая карьера.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]