Вектор (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Вектор \overrightarrow{AB}

Ве́ктор (от лат. vector, «несущий») — в простейшем случае математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой в евклидовом пространстве (или на плоскости)[1].

Примеры: радиус-вектор, скорость, момент силы. Если в пространстве задана система координат, то вектор однозначно задаётся набором своих координат. Поэтому в математике, информатике и других науках упорядоченный набор чисел часто тоже называют вектором. В более общем смысле вектор в математике рассматривается как элемент некоторого векторного (линейного) пространства.

Является одним из основополагающих понятий линейной алгебры. При использовании наиболее общего определения векторами оказываются практически все изучаемые в линейной алгебре объекты, в том числе матрицы, тензоры, однако, при наличии в окружающем контексте этих объектов, под вектором понимаются соответственно вектор-строка или вектор-столбец, тензор первого ранга. Свойства операций над векторами изучаются в векторном исчислении.

Обозначения[править | править вики-текст]

Вектор, представленный набором n элементов (компонент) a_1, a_2, \ldots, a_n обозначают следующим способами:

\langle a_1, a_2, \ldots, a_n\, \rangle,\  \left ( a_1, a_2, \ldots, a_n\, \right ), \{ a_1, a_2, \ldots, a_n\, \} .

Для того, чтобы подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр), используют черту сверху, стрелочку сверху, жирный или готический шрифт:

\bar a,\ \vec a, \mathbf a, \mathfrak A,\  \mathfrak a.

Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:

\vec{a} + \vec{b}.

Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например:

k \vec{b},

причём число при этом обычно пишут слева.

Умножение на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака.

История[править | править вики-текст]

Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор (лат. vector, несущий) и описал некоторые операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид.

В геометрии[править | править вики-текст]

В геометрии под векторами понимают направленные отрезки. Эту интерпретацию часто используют в компьютерной графике, строя карты освещения, с помощью нормалей к поверхностям. Так же с помощью векторов можно находить площади различных фигур, например треугольников и параллелограммов, а так же объёмы тел: тетраэдра и параллелепипеда.
Иногда с вектором отождествляют направление.

В линейной алгебре[править | править вики-текст]

В линейной алгебре вектором называется элемент линейного пространства, что соответствует общему определению, приведённому ниже. Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой.
Данным понятием вектора чаще всего пользуются при решении систем линейных алгебраических уравнений, а также при работе с линейными операторами (пример линейного оператора — оператор поворота). Часто это определение расширяют, определяя норму или скалярное произведение (возможно, и то и другое вместе), после чего оперируют уже с нормированными и евклидовыми пространствами, со скалярным произведением связывают понятие угла между векторами, а с нормой — понятие длины вектора. Многие математические объекты (например, матрицы, тензоры и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем конечный (а иногда даже и чем счётный) упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам векторного пространства, то есть являются с точки зрения алгебры векторами.

В функциональном анализе[править | править вики-текст]

В функциональном анализе рассматриваются функциональные пространства — бесконечномерные линейные пространства. Их элементами могут являться функции. На основание такого представления функции выстроена теория рядов Фурье. Аналогично с линейной алгеброй часто вводят норму, скалярное произведение или метрику на пространстве функций. На понятии функции как элемента гильбертова пространства основываются некоторые методы решения дифференциальных уравнений, например метод конечных элементов.

Общее определение[править | править вики-текст]

Наиболее общее определение вектора даётся средствами общей алгебры. Пусть \mathfrak F= \langle F;+,* \rangle — некоторое поле с аддитивной операцией +, мультипликативной операцией *, аддитивной единицей 0 и мультипликативной единицей 1. Пусть \mathfrak V= \langle V;+ \rangle — некоторая абелева группа с единицей \mathbf 0. Если существует операция F \times V \to V, такая что для любых a,b \in F и для любых \mathbf x ,\mathbf y \in V выполняются соотношения:

  1. (a+b)\mathbf x=a\mathbf x + b\mathbf x,
  2. a(\mathbf x + \mathbf y )=a\mathbf x + a\mathbf y,
  3. (a*b)\mathbf x = a(b\mathbf x ),
  4. 1\mathbf x =\mathbf x,

тогда \mathfrak V называется векторным пространством над полем \mathfrak F (или линейным пространством), элементы V называются векторами, элементы Fскалярами, а указанная операция F \times V \to Vумножением вектора на скаляр.

Многие результаты линейной алгебры обобщены до унитарных модулей над некоммутативными телами и даже произвольных модулей над кольцами, таким образом, в наиболее общем случае, в некоторых контекстах, вектором может быть назван как любой элемент модуля над кольцом.

Физическая интерпретация[править | править вики-текст]

Вектор, как структура имеющее одновременно величину (модуль) и направление, рассматривается в физике, как математическая модель силы, либо связанных с ней понятий. Также моделью физических полей (например, компоненты электромагнитного поля или поле скорости жидкости) являются векторные поля.

Вектор как последовательность[править | править вики-текст]

Вектор — (последовательность, кортеж) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным аксиомам линейного пространства. Именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). Перечень свойств моделирует принятое в теории систем определение класса и состояния объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения элементов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки обычно принятого в алгебре, да и в математике вообще.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]