Вписанная окружность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE

Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех его сторон.

В многоугольнике[править | править вики-текст]

  • Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех внутренних углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая и является центром вписанной окружности.
  • Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру
r=\frac{S}{p}

В треугольнике[править | править вики-текст]

Свойства вписанной окружности:

  • В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
  • Центр I вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен
r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}
где S — площадь треугольника, а p — полупериметр.
  • Если AB — основание равнобедренного \triangle ABC, то окружность, касающаяся сторон \angle ACB в точках A и B, проходит через инцентр треугольника ABC.
  • Формула Эйлера: R^2-2Rr=|OI|^2, где R — радиус описанной вокруг треугольника окружности, r — радиус вписанной в него окружности, O — центр описанной окружности, I — центр вписанной окружности.
  • Если прямая, проходящая через точку I параллельно стороне AB, пересекает стороны BC и CA в точках A1 и B1, то A_1B_1=A_1B+AB_1.
  • Точки касания вписанной в треугольник T окружности соединены отрезками — получается треугольник T1
  • Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен \frac{a+b-c}{2}.
  • Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d=\frac{a+b-c}{2}=p-c.
  • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно l_c=\frac{r}{\sin(\frac{\gamma}{2})}, где r — радиус вписаной окружности, а γ — угол вершины C.
  • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам l_c = \sqrt{(p-c)^2 + r^2} и l_c = \sqrt{ab - 4Rr}
  • Теорема о трезубце или о трилистнике: Если W — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью, а I — центр вписанной окружности, то |WI|=|WB|=|WC|.
  • Лемма Веррьера[1]: пусть окружность V касается сторон AB, AC и дуги BC описанной окружности треугольника ABC. Тогда точки касания окружности V со сторонами и центр вписанной окружности треугольника ABC лежат на одной прямой.

В четырёхугольнике[править | править вики-текст]

Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.

В выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.

Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения противоположных сторон четырёхугольника. Эта прямая называется прямой Гаусса. Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

В сферическом треугольнике[править | править вики-текст]

Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.

  • Тангенс радиуса[2] вписанной в сферический треугольник окружности равен[3]:73-74
\operatorname{tg}r=\sqrt{\frac{\sin (p-a)\sin (p-b)\sin (p-c)}{\sin p}}\,
  • Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника[3]:20-21.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — С. 130. — 334 с.
  2. Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и точку касания окружностью стороны треугольника.
  3. 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Литература[править | править вики-текст]