Выборочная дисперсия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую, или исправленную, выборочные дисперсии.

Определения[править | править вики-текст]

Пусть X_1,\ldots,X_n,\ldotsвыборка из распределения вероятности. Тогда

S^2_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X} \right)^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)^2,

где символ \bar{X} обозначает выборочное среднее.

  • Несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина
S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X} \right)^2.

Замечание[править | править вики-текст]

Очевидно,

S^2 = \frac{n}{n-1} S^2_n.

Свойства выборочных дисперсий[править | править вики-текст]

S_n^2 \to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}}\; \sigma^2

и

S^2 \to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}}\; \sigma^2,

где \to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}} обозначает сходимость по вероятности.

  • Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия несмещённой:
\mathbb{E}\left[S^2_n\right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2,

и

\mathbb{E}\left[S^2\right] = \sigma^2.
(n-1) \frac{S^2}{\sigma^2} \equiv n \frac{S^2_n}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1).

Смотрите также[править | править вики-текст]