Вынужденные колебания

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
  1. Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right).

Вынужденные колебания гармонического осциллятора[править | править вики-текст]

Консервативный гармонический осциллятор[править | править вики-текст]

Второй закон Ньютона и Марченко для такого осциллятора запишется в виде:  ma = -kx + F_0 \cos\left(\Omega t\right). Если ввести обозначения: \omega_0^2=\frac km, \quad \Phi_0=\frac{F_0}{m} и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

 \ddot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos (\Omega t)

Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:

x(t) = A \sin\left(\omega_0 t + \varphi\right),

где A, \phi — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида: x(t)=B \cos \left(\Omega t \right) и получим значение для константы:

 B = \frac{\Phi_0}{\omega_0^2 - \Omega^2}

Тогда окончательное решение запишется в виде:

x(t)= A \sin\left(\omega_0 t + \phi\right) + \frac{\Phi_0}{\omega_0^2 - \Omega^2}\cos\left(\Omega t \right)
Эффект резонанса для разных частот внешнего воздействия и коэффициентов затухания

Резонанс[править | править вики-текст]

Из решения видно, что при частоте вынуждающей силы, равной частоте свободных колебаний, оно не пригодно — возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курса математического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде: x(t)=t \left(A \cos \left(\Omega t \right) + B \sin \left(\Omega t \right)\right). Подставим этот анзац в дифференциальное уравнение и получим, что :

A = 0 \qquad B = \frac{\Phi_0}{2\Omega}

Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:

 x(t) = \frac{\Phi_0}{2\Omega} t \sin \left(\Omega t \right)

Затухающий гармонический осциллятор[править | править вики-текст]

Второй закон Ньютона:

 ma = -kx - \alpha v + F_0 \cos\left(\Omega t\right).

Переобозначения:

\omega_0^2=\frac km, \qquad \Phi_0=\frac{F_0}{m}, \qquad \zeta = \frac {\alpha}{2\sqrt{k m}}

Дифференциальное уравнение:

\ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos\left(\Omega t\right)

Его решение будет строиться, как сумма решений однородного уравнения и частного решения неоднородного. Анализ однородного уравнения приведён здесь. Получим и проанализируем частное решение.

Запишем вынуждающую силу следующим образом: \Phi_0 \cos \Omega t = \Phi_0 Re\, e^{-i\Omega t}, тогда решение будем искать в виде:  x(t)=A e^{-i\Omega t}, \text{где} A \in \mathbb C. Подставим это решение в уравнение и найдём выражение для A:

A=\frac{\Phi_0}{\omega_0^2-\Omega^2 - 2i\zeta\Omega\omega_0}=\frac{\Phi_0\left(\omega_0^2-\Omega^2 + 2i\zeta\Omega\omega_0\right)}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2\omega_0^2}=|A|e^{-i\varphi}

где |A|=\frac{\Phi_0}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2\omega_0^2}}, \qquad \varphi=-\arctan\frac{2\zeta\Omega\omega_0}{\omega_0^2-\Omega^2}

Полное решение имеет вид:

x (t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (c_1 \cos( \omega_\mathrm{d} t) + c_2 \sin( \omega_\mathrm{d} t )) + Re\left[\frac{\Phi_0\left(\omega_0^2-\Omega^2 + 2i\zeta\Omega\omega_0\right)}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2\omega_0^2} e^{-i\Omega t}\right],

где  \omega_\mathrm{d}=\omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 } — собственная частота затухающих колебаний.

Константы  c_1 и  c_2 в каждом из случаев определяются из начальных условий: \left\{\begin{array}{ccc}x(0) &=& x_0 \\ \dot{x}(0) &=& v_0 \end{array}\right.

В этом случае, в отличие от осциллятора без трения, амплитуда колебаний в резонансе имеет конечную величину.

Если мы рассмотрим устоявший процесс, то есть ситуацию при  t\, \to\, \infty , то решение однородного уравнения будет стремиться к нулю и останется только частное решение:

x(t \to \infty)=\Phi_0 \frac{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)\cos{\Omega t}+2\zeta\Omega\sin{\Omega t}}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2} = \frac{\Phi_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4 \zeta^2\omega_0^2 \Omega^2 }} \cos (\Omega t - \varphi )

Это означает, что при  t\, \to\, \infty система «забывает» начальные условия, и характер колебаний зависит только от вынуждающей силы.

Работа, совершаемая вынуждающей силой F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right) за время  dt\ , равна  F dx\ , а мощность  P = F \frac{dx}{dt} . Из уравнения

\ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos\left(\Omega t\right)

следует, что

 P(t) = F \dot x = ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x )m \dot x

Если учесть, что при установившихся вынужденных колебаниях

 x\, = A\, \cos ( \Omega t - \varphi )
 \dot x = - A \Omega \sin ( \Omega t - \varphi )
 \ddot x = -  A \Omega ^2 \cos ( \Omega t - \varphi )

то тогда средняя за период  T = \frac{2 \pi }{ \Omega } мощность:

 P = \frac{m}{T} \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^2

Работа за период

 W = m \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^2 T =2\pi A^2 m \zeta\omega_0 \Omega

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]