Гипербола (математика)

Гипербола и её фокусы

Сечения конусов плоскостью (с эксцентриситетом, большим единицы)

$|d1-d2|= 2a$

Гипе́рбола (др.-греч. ὑπερβολή, от др.-греч. βαλειν — «бросать», ὑπερ — «сверх») — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек $F_1$ и $F_2$ (называемых фокусами) постоянно. Точнее,

$\bigl||F_1M|-|F_2M|\bigr|= 2a,$ причем $|F_1F_2| > 2a > 0.$

Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, большим единицы.

История

Термин «гипербола» (греч. ὑπερβολή — избыток) был введён Аполлонием Пергским (ок. 262 год до н. э. — ок. 190 год до н. э.), поскольку задача о построении точки гиперболы сводится к задаче о приложении с избытком.

Определения

Гипербола может быть определена несколькими путями.

Коническое сечение

Три основных конических сечения

Гипербола может быть определена, как множество точек, образуемое в результате сечения кругового конуса плоскостью, отсекающей обе части конуса. Другими результатами сечения конуса плоскостью являются парабола, эллипс, а также такие вырожденные случаи, как скрещенные и совпадающие прямые и точка, возникающие, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. В частности, скрещенные прямые можно считать вырожденной гиперболой, совпадающей со своими асимптотами.

Как геометрическое место точек

Через фокусы

Гипербола может быть определена, как Геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

Через директрису и фокус

Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная $\varepsilon>1$ называется эксцентриситетом гиперболы.

Связанные определения

Асимптоты гиперболы (красные кривые), показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы, C. Два фокуса гиперболы обозначены как F₁ и F₂. Директрисы гиперболы обозначены линиями двойной толщины и обозначены D₁ и D₂. Эксцентриситет ε равен отношению расстояний точки P на гиперболе до фокуса и до соответствующей директрисы (показаны зеленым). Вершины гиперболы обозначены как ±a. Параметры гиперболы обозначают следующее:

a — расстояние от центра C до каждой из вершин
b — длина перпендикуляра, опущенного из каждой из вершин на ассимптоты
c — расстояние от центра C до любого из фокусов, F₁ и F₂,
θ — угол, образованный каждой из асимптот и осью, проведённой между вершинами.

• Гипербола состоит из двух отдельных кривых, которые называют ветвями.
• Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы называются вершинами.
• Кратчайшее расстояние между двумя ветвями гиперболы называется большой осью гиперболы.
• Середина большой оси называется центром гиперболы.
• Расстояние от центра гиперболы до одной из вершин называется большой полуосью гиперболы.
  • Обычно обозначается a.
• Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.
  • Обычно обозначается c.
• Оба фокуса гиперболы лежат на продолжении большой оси на одинаковом расстоянии от центра гиперболы. Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется действительной или поперечной осью гиперболы.
• Прямая, перпендикулярная действительной оси и проходящая через её центр называется мнимой или сопряженной осью гиперболы.
• Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, перпендикулярный её действительной оси, называется фокальным параметром.
• Расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы называется прицельным параметром.
  • Обычно обозначается b.
• В задачах, связанных с движением тел по гиперболическим траекториям расстояние от фокуса до ближайшей вершины гиперболы называется перицентрическим расстоянием
  • Обычно обозначается $r_p$..

Соотношения

Для характеристик гиперболы определённых выше подчиняются следующим соотношениям

• $c^2 = a^2 + b^2\,$.
• $\varepsilon = c/a\,$.
• $b^2 = a^2\left( \varepsilon^2 - 1\right)\,$.
• $r_p = a\left( \varepsilon - 1\right)\,$.
• $a = \frac{p}{\varepsilon^2-1}\,$.
• $b = \frac{p}{\sqrt{\varepsilon^2-1}}\,$.
• $c = \frac{p\varepsilon}{\varepsilon^2-1}\,$.
• $p = \frac{b^2}{a}$.

Типы гипербол

Равнобочная гипербола

Гиперболу, у которой $a = b$, называют равнобочной. Равнобочная гипербола в некоторой прямоугольной системе координат описывается уравнением

$xy = a^2/2,$

при этом фокусы гиперболы располагаются в точках (a, a) и (−a,−a).

Гиперболы, связанные с треугольником

• гипербола Енжабека — кривая, изогонально сопряженная прямой Эйлера;
• гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряженная прямой проходящей через точка Лемуана и центр описанной окружности данного треугольника.

См. также Треугольник#Эллипсы, параболы и гиперболы

Уравнения

Декартовы координаты

Гипербола задаётся уравнением второй степени в декартовых координатах (x, y) на плоскости:

$A_{xx} x^{2} + 2 A_{xy} xy + A_{yy} y^{2} + 2 B_{x} x + 2 B_{y} y + C\,=\,0$,

где коэффициенты A_xx, A_xy, A_yy, B_x, B_y, и C удовлетворяют следующему соотношению

$D = \begin{vmatrix} A_{xx} & A_{xy}\\A_{xy} & A_{yy} \end{vmatrix} < 0\,$

и

$\Delta := \begin{vmatrix} A_{xx} & A_{xy} & B_{x} \\A_{xy} & A_{yy} & B_{y}\\B_{x} & B_{y} & C \end{vmatrix} \not= 0.$

Канонический вид

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду

$\frac{{x}^{2}}{a^{2}} - \frac{{y}^{2}}{b^{2}} = 1$,

где большая a и малая b полуоси.

Полярные координаты

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то

$r = \frac{p}{\varepsilon \cos\phi - 1}$

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а полярная ось параллельна одной из асимптот, то

$\frac{1}{r} = \frac{a}{b^2}\left(1-\cos\theta\right) + \frac{1}{b}\sin\theta$

Свойства

• Оптическое свойство. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.
  • Иначе говоря, если $F_1$ и $F_2$ фокусы гиперболы, то касательная в любой точки $X$ гиперболы является биссектрисой угла $\angle F_1 X F_2$.
• Для любой точки лежащей на гиперболе отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.
• Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей, а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.

• Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу, для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними. Это соответствует замене a и b друг на друга в формуле, описывающей гиперболу. Сопряженная гипербола не является результатом поворота начальной гиперболы на угол 90°; обе гиперболы различаются формой.

Асимптоты

Две сопряженные гиперболы (голубая и зеленая) обладают совпадающими асимптотами (красные). Эти гиперболы единичные и равнобочные, так как a = b = 1.

Гипербола, в её каноническом виде, задается парой функций:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

имеет две асимптоты

$\frac{x}{a}\pm\frac{y}{b}=0$.

Диаметры и хорды

Диаметры гиперболы

Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряженный диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось.

Угловой коэффициент $k\,$ параллельных хорд и угловой коэффициент $k_1\,$ соответствующего диаметра связан соотношением

$k \cdot k_1 = \varepsilon^2 - 1 = \frac{b^2}{a^2}$

Если диаметр a делит пополам хорды, параллельные диаметру b, то диаметр b делит пополам хорды, параллельные диаметру a. Такие диаметры называются взаимно сопряженными. Главными диаметрами называются взаимно сопряженные и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.

Касательная и нормаль

Поскольку гипербола является гладкой кривой, в каждой её точке (x₀, y₀) можно провести касательную и нормаль. Уравнение касательной к гиперболе, заданной каноническим уравнением, имеет вид:

$\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 1$,

или, что то же самое,

$y = y_0 + \frac{b^2x_0}{a^2y_0}\left(x-x_0\right)$.

Вывод уравнения касательной

Уравнение касательной произвольной плоской линии имеет вид $y-y_0 = y'\left(x_0, y_0\right)\cdot\left(x - x_0\right)$ Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций $y = \pm\sqrt{\frac{b^2}{a^2}x^2 - b^2}$. Тогда производная этих функций имеет вид $y'=\pm\frac{\frac{b^2}{a^2}x}{\sqrt{\frac{b^2}{a^2}x^2 - b^2}} = \frac{b^2}{a^2}\frac{x}{y}$. Подставив это уравнение в общее уравнение касательной, получим $y - y_0 = \frac{b^2}{a^2}\frac{x_0}{y_0}\left(x - x_0\right)$ $\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = \frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1$

Уравнение нормали к гиперболе имеет вид:

$y = y_0 - \frac{a^2}{b^2}\frac{y_0}{x_0}\left(x-x_0\right)$.

Вывод уравнения нормали

Уравнение нормали произвольной плоской линии имеет вид $y-y_0 = \frac{1}{y'\left(x_0, y_0\right)}\left(x_0 - x\right)$. Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций $y = \pm\sqrt{\frac{b^2}{a^2}x^2 - b^2}$. Тогда производная этих функций имеет вид $y'=\pm\frac{\frac{b^2}{a^2}x}{\sqrt{\frac{b^2}{a^2}x^2 - b^2}} = \frac{b^2}{a^2}\frac{x}{y}$. Подставив это уравнение в общее уравнение нормали, получим $y - y_0 = - \frac{a^2}{b^2}\frac{y_0}{x_0}\left(x-x_0\right)$.

Кривизна и эволюта

Синим цветом показана гипербола. Зеленым цветом — эволюта правой ветви этой гиперболы (эволюта левой ветви вне рисунка. Красным цветом показан круг, соответствующий кривизне гиперболы в ей вершине.)

Кривизна гиперболы в каждой её точке (x, y) определяется из выражения:

$K = \frac{ab}{\left(\frac{a^2}{b^2}y^2 + \frac{b^2}{a^2}x^2\right)^{3/2}}$.

Соответственно, радиус кривизны имеет вид:

$R = \frac1K =\frac{\left(\frac{a^2}{b^2}y^2 + \frac{b^2}{a^2}x^2\right)^{3/2}}{ab}$.

В частности, в точке (a, 0) радиус кривизны равен

$R\left(a,0\right) = \frac{b^2}{a} = p$.

Вывод формулы для радиуса кривизны

Формула для радиуса кривизны плоской линии, заданной параметически, имеет вид: $R_c = \frac{\left(x'^2\ + y'^2\right)^{3/2}}{\left| x'y'' - x''y'\right|}$. Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы: $\begin{cases} x = a \cdot \mathrm{ch}\,(t) \\ y = b \cdot \mathrm{sh}\,(t) \end{cases}$ Тогда, первая производная x и y по t имеет вид $\begin{cases} x' = a \cdot \mathrm{sh}\,(t) = \frac{a}{b}y \\ y' = b \cdot \mathrm{th}\,(t) = \frac{b}{a}x \end{cases}$, а вторая производная - $\begin{cases} x'' = a \cdot \mathrm{ch}\,(t) = x \\ y'' = b \cdot \mathrm{sh}\,(t) = y \end{cases}$ Подставляя эти значения в формулу для кривизны получаем: $R_c = \frac{\left(\frac{a^2}{b^2}y^2\ + \frac{b^2}{a^2}x^2\right)^{3/2}}{\left| a\frac{y^2}{b} - b\frac{x^2}{a}\right|} = \frac{\left(\frac{a^2}{b^2}y^2\ + \frac{b^2}{a^2}x^2\right)^{3/2}}{ab\left| \frac{y^2}{b} - \frac{x^2}{a}\right|} = \frac{\left(\frac{a^2}{b^2}y^2\ + \frac{b^2}{a^2}x^2\right)^{3/2}}{ab}$.

Координаты центров кривизны задаются парой уравнений:

$\begin{cases} x_c = \frac{x^3}{a^2}\left(1+\frac{b^2}{a^2}\right) \\ y_c = -\frac{y^3}{b^2}\left(1+\frac{a^2}{b^2}\right) \end{cases}$

Подставив в последнюю систему уравнений вместо x и y их значения из параметрического представления гиперболы, получим пару уравнений, задающих новую кривую, состоящую из центров кривизны гиперболы. Эта кривая называется эволютой гиперболы.

$\begin{cases} x = \pm a\,\mathrm{ch}^3\,t\left(1+\frac{b^2}{a^2}\right) \\ y = b\,\mathrm{sh}^3\,t\left(1+\frac{a^2}{b^2}\right) \end{cases}$

Эллиптическая система координат

Применения

• Семейство конфокальных (софокусных) гипербол вместе с семейством софокусных эллипсов образуют двумерную эллиптическую систему координат.

• Другие ортогональные двумерные координатные системы, построенные с помощью гипербол, могут быть получены с помощью других конформных преобразований. Например, преобразование w = z² отображает декартовы координаты в два семейства ортогональных гипербол.

См. также

• Каустика
• Гиперболоид
• Гиперболические функции
• Smoothed octagon (англ.)

Литература

• Бронштейн И. Гипербола // Квант. — 1975. — № 3.
• Математическая энциклопедия (в 5-и томах). М.: Советская энциклопедия, 1982.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые // Популярные лекции по математике. — Гостехиздат, 1952. — В. 4.