Континуум-гипотеза

В 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую конти́нуум-гипо́тезу, которую можно сформулировать следующим образом:

Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным.

Другими словами, мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счетного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет.

История

Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.

В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода форсинга (англ.) доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причем оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.

Разделение по принятию континуум-гипотезы или её отрицания в качестве дополнительной аксиомы привело к созданию так называемых канторовской теории множеств $ZFC+CH$ и неканторовской^{[источник не указан 29 дней]} теории множеств $ZFC+\neg CH$. В рамках последней теории имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов $\alpha$ может выполняться равенство $\mathfrak c=\aleph_\alpha?$ Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году теорема Истона (англ.).

Эквивалентные формулировки

• Континуум-гипотеза эквивалентна утверждению о том, что плоскость $\R^2$ может быть полностью покрыта счётным семейством кривых, каждая из которых имеет вид $y=f(x)$ (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или $x=f(y)$ (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой).
• Континуум-гипотеза эквивалентна утверждению о том, что прямая $\R$ может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четверки чисел $a, b, c, d$ не выполняется условие $a + b = c + d.$ (Эрдёш)

Вариации и обобщения

Обобщённая континуум-гипотеза заключается в предположении, что для любого бесконечного кардинала $\aleph_\alpha$ выполняется равенство $2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}$ или, другими словами, в любом множестве, превосходящим по мощности некоторое бесконечное множество S, найдётся подмножество, равномощное булеану 2^S.

Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 г. и Шпеккер в 1952 г., из неё следует аксиома выбора.

Ссылки

• Континуум-гипотеза БСЭ