Математическая логика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Математи́ческая ло́гика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики[1]. В более широком смысле рассматривается как математизированная ветвь формальной логики[2] — «логика по предмету, математика по методу»[3], «логика, развиваемая с помощью математических методов»[4].

История[править | править вики-текст]

Вопрос о создании символической логики, как универсального научного языка, рассматривал Лейбниц в 1666 году в работе «Искусство комбинаторики». Вопрос о создании символической логики как универсального научного языка рассматривал Лейбниц в 1666 году в работе «Искусство комбинаторики» (De arte combinatoria). В середине XIX века появились первые работы по алгебраизации аристотелевой логики, сформировавшие первооснову исчисления высказываний (Буль, де Морган, Шрёдер). В работах Фреге и Пирса (конец 1870-х — начало 1880-х) в логику введены предметные переменные, кванторы и, тем самым, основано исчисление предикатов. В конце 1880-х годов Дедекинт и Пеано применили эти инструменты в попытках аксиоматизиации арифметики, при этом Пеано создал удобную систему обозначений, закрепившуюся и в современной математической логике.

Уайтхед и Рассел создают в 1910—1913 годах трактат Principia Mathematica, который оказал исключительное влияние на все последующее развитие математической логики. Ещё одной важной вехой в развитии логики стало обнаружение свойственных уровню развития логических исчислений и теории множеств конца XIX века парадоксов, в преодоление которых появилась концепция интуиционизма и интиуционистская логика (Брауэр, 1908) и, в качестве альтернативы, Гильбертом создана программа обоснования математики посредством аксиоматической формализации с использованием строго ограниченных средств, не приводящих к противоречиям.

Основные положения[править | править вики-текст]

Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.

Важную роль в математической логике играют понятия дедуктивной теории и исчисления. Исчислением называется совокупность правил вывода, позволяющих считать некоторые формулы выводимыми. Правила вывода подразделяются на два класса. Одни из них непосредственно квалифицируют некоторые формулы как выводимые. Такие правила вывода принято называть аксиомами. Другие же позволяют считать выводимыми формулы A, синтаксически связанные некоторым заранее определённым способом с конечными наборами A_1, \ldots A_n выводимых формул. Широко применяемым правилом второго типа является правило modus ponens: если выводимы формулы A и (A\to B), то выводима и формула B.

Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление И называется семантически пригодным для языка Я, если любая выводимая в И формула языка Я является верной. Аналогично, исчисление И называется семантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Я выводима в И.

Многие из рассматриваемых в математической логике языков обладают семантически полными и семантически пригодными исчислениями. В частности, известен результат Курта Гёделя о том, что классическое исчисление предикатов является семантически полным и семантически пригодным для языка классической логики предикатов первого порядка (теорема Гёделя о полноте). С другой стороны, имеется немало языков, для которых построение семантически полного и семантически пригодного исчисления невозможно. В этой области классическим результатом является теорема Гёделя о неполноте, утверждающая невозможность семантически полного и семантически пригодного исчисления для языка формальной арифметики.

На практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и соответственно входит в языки программирования. Это является одним из важнейших практических приложений методов математической логики, изучаемых в современных учебниках информатики.

Разделы[править | править вики-текст]

В Математической предметной классификации математическая логика объединена в одну секцию верхнего уровня с основаниями математики, в которой выделены следующие разделы:

Примечания[править | править вики-текст]

  1. mathematical logic: definition of mathematical logic in Oxford dictionary (American English)
  2. Н. И. Кондаков, Логический словарь-справочник, М.: «Наука», 1975, с. 259. «математическая логика — вторая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений (формализованных языков)»
  3. Согласно определению первого автора работ по математической логике на русском языке Платона Порецкого
  4. С. К. Клини, Математическая логика, М., 1973, с.12.

Литература[править | править вики-текст]

  • Марков А. А.. Элементы математической логики. М.: Изд-во МГУ, 1984.
  • Новиков П. С. Элементы математической логики. 2-ое изд. М.: Наука, 1973. — 400 с.
  • Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968. — 232 с.
  • Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М.: Наука, 1967. 508 с.
  • Шенфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 1975.

Ссылки[править | править вики-текст]