ε-сеть

ε-сеть (эпсилон-сеть) метрического пространства $X$ есть множество $Z$ такое, что для любой точки $x\in X$ найдётся точка $z\in Z$, удалённая от $x$ не более чем $\varepsilon$.

Примеры

• Для стандартной метрики множество рациональных чисел — ε-сеть для множества вещественных для любого ε > 0.
• Множество целых чисел — $\varepsilon$-сеть для множества вещественных для $\varepsilon\ge 0{,}5$

Свойства

• Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon> 0$ в нём существует конечная $\varepsilon$-сеть.
• Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon> 0$ в нём существует компактная $\varepsilon$-сеть.

Литература

• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.