ε-сеть

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

ε-сеть (эпсилон-сеть, ε-плотное множество) для подмножества M метрического пространства X есть множество Z из того же пространства X такое, что для любой точки x\in M найдётся точка z\in Z, удалённая от x не более чем ε.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Метрическое пространство, в котором для каждого \varepsilon> 0 существует конечная ε-сеть, называется вполне ограниченным.

Метрика \rho на множестве X называется вполне ограниченной, если (X,\rho) — вполне ограниченное метрическое пространство.

Топологическое пространство, гомеоморфное вполне ограниченному метрическому пространству, называется метризуемым вполне ограниченной метрикой.

Примеры[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

  • Метрическое пространство имеет эквивалентную вполне ограниченную метрику тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
  • Топологическое пространство метризуемо вполне ограниченной метрикой тогда и только тогда, когда оно регулярно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.
  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограниченно. В чуть более общей формулировке, теорема Хаусдорфа о компактности гласит, что для относительной компактности подмножества M метрического пространства X необходимо, а в случае полноты пространства X и достаточно, чтобы при любом  \varepsilon > 0 существовала конечная ε-сеть из элементов множества M.
  • Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда для любого \varepsilon> 0 в нём существует компактная ε-сеть.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — cтр. 59.

Литература[править | править вики-текст]

  • Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.
  • Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.