θ-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тэта-функции  — специальные целые функции, отношения которых представляют эллиптические функции. Основные четыре Тэта-функции определяются следующими быстро сходящимися рядами:

 \theta_1(z,q)=2q^{1/4} \sin z \ - \ 2q^{9/4}\sin3z \ + \ 2q^{25/4}\sin5z \ + \ \ldots,

 \theta_2(z,q)=2q^{1/4} \cos z \ + \ 2q^{9/4}\cos3z \ + \ 2q^{25/4}\cos5z \ + \ \ldots,

 \theta_3(z,q)=1 \ + \ 2q\cos 2z \ + \ 2q^4\cos4z \ + \ 2q^9\cos6z \ + \ \ldots,

 \theta_4(z,q)=1 \ - \ 2q\cos 2z \ + \ 2q^4\cos4z \ - \ 2q^9\cos6z \ + \ \ldots, где |q| \ < \ 1.

При добавлении \ \pi к аргументу z\ эти функции приобретают соответственно множители −1, −1, 1, 1, а при добавлении \ \pi \tau , где \ \tau связано с \ q соотношением \ q=e^{\pi \iota \tau} , множители -N, \ N, \ N, \ -N \ (N=q^{-1}e^{-2\iota k}). Отсюда следует, что, например, отношение \vartheta_1(z)/ \vartheta_4(z) представляет мероморфную функцию, не изменяющуюся при добавлении к аргументу \ 2\pi или \ \pi \tau , то есть эллиптическую функцию с периодами \ 2\pi или \ \pi \tau .

Обобщением указанных Т.-ф., введённых К. Якоби (обозначения Якоби несколько иные), являются Тэта-функции, построенные А. Пуанкаре для представления автоморфных функций.

Литература[править | править вики-текст]

  • Уиттекер Э.-Т., Ватсон Дж.- Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.

Ссылки[править | править вики-текст]