Пирамида (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Виды пирамид.

Пирами́да (др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину[1]. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса[2][неавторитетный источник? 450 дней].

История развития пирамиды в геометрии[править | править вики-текст]

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит [3], а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

Элементы пирамиды[править | править вики-текст]

  • апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины (также апофемой называют длину перпендикуляра, опущенного из середины правильного многоугольника на одну из его сторон)[4];
  • боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;
  • боковые ребра — общие стороны боковых граней;
  • вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
  • высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
  • диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
  • основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Углы пирамиды[править | править вики-текст]

Развёртка пирамиды[править | править вики-текст]

Развёрткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развёртки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую плёнку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путём изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещён с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развёртывающейся, а полученную плоскую фигуру — её развёрткой.

Свойства пирамиды[править | править вики-текст]

Если все боковые рёбра равны, то:

  • около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;
  • также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

  • в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • высоты боковых граней равны;
  • площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами[править | править вики-текст]

Сфера[править | править вики-текст]

  • около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие)[5]. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
  • в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Конус[править | править вики-текст]

  • Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);[6]
  • Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые рёбра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
  • Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Цилиндр[править | править вики-текст]

  • Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
  • Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Формулы, связанные с пирамидой[править | править вики-текст]

  • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:
V = \frac{1}{3} S h,
где \ S — площадь основания и \ h — высота;
V = \frac{1}{6} V_p,
где \ V_p — объём параллелепипеда;
  • Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле[7]:
V = \frac{1}{6} a_{1} a_{2} d \sin \varphi,
где a_{1}, a_{2} — скрещивающиеся рёбра , d — расстояние между a_{1} и a_2 , \varphi — угол между a_{1} и a_2;
  • Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:
S_b = \sum_{i}^{}S_i
  • Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:
 \ S_p = S_b + S_o
  • Для нахождения площади боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:
S_b = \frac{1}{2} P a = \frac{n}{2} b^2 sin \alpha
где  a  — апофема ,  \ P — периметр основания,  \ n — число сторон основания,  \ b — боковое ребро, \alpha — плоский угол при вершине пирамиды.

Особые случаи пирамиды[править | править вики-текст]

Правильная пирамида[править | править вики-текст]

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

  • боковые рёбра правильной пирамиды равны;
  • в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;
  • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
  • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна \pi, а каждый из них соответственно \frac{\pi}{n}, где n — количество сторон многоугольника основания[8];
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Прямоугольная пирамида[править | править вики-текст]

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Усечённая пирамида[править | править вики-текст]

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие в понятиях правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр.

Интересные факты[править | править вики-текст]

  • Формула для расчёта объёма усечённой пирамиды была выведена раньше, чем для полной.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4
  2. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1. Пособие для учителей. Под ред. Л. В. Сабинина. М., Просвещение, 1978. 320 с. С. 253.
  3. Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — 3-е изд.. — М.: КомКнига, 2007. — 456 с. — ISBN 978-5-484-00848-3
  4. Апофема — статья из Большой советской энциклопедии (3-е издание)
  5. Саакян С. М., Бутузов В. Ф. Изучение геометрии в 10—11-х классах: книга для учителя. — 4-е изд., дораб.. — М.: Просвещение, 2010. — 248 с. — (Математика и информатика). — ISBN 978-5-09-016554-9
  6. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 175 с. — 60 000 экз. — ISBN 978-5-09-019708-3
  7. Кушнир И. А. Триумф школьной геометрии. — К.: Наш час, 2005. — 432 с. — ISBN 966-8174-01-1
  8. Готман Э. Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу // Квант. — 1998. — № 4.

Литература[править | править вики-текст]

  • Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4
  • Калинин А. Ю., Терешин Д. А. Стереометрия. 11 класс. — 2-е изд. — М.: Физматкнига, 2005. — 332 с. — ISBN 5-89155-134-9
  • Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 175 с. — 60 000 экз. — ISBN 978-5-09-019708-3

См. также[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «пирамида»

Ссылки[править | править вики-текст]