Подобие треугольников

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Подобные треугольникитреугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Признаки подобия треугольников[править | править вики-текст]

Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.

Первый признак[править | править вики-текст]

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.


то есть: \triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1 \Leftrightarrow \angle A = \angle A_1,\ \angle B= \angle B_1.

Дано: \triangle ABC и \triangle A_1 B_1 C_1,\ \angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1.

Доказать: \triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1.

Второй признак[править | править вики-текст]

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны в равном отношении, то такие треугольники подобны.


Дано: \triangle ABC и \triangle A_1 B_1 C_1,\ \angle A = \angle A_1,\ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}. Доказать: \triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1.

Третий признак[править | править вики-текст]

Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.


Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1, \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1}.

Доказать: ∆ABC \sim ∆A1B1C1.

Признаки подобия прямоугольных треугольников[править | править вики-текст]

  1. По острому углу — см. первый признак;
  2. По двум катетам — см. второй признак;
  3. По катету и гипотенузе — см. третий признак.

Свойства подобных треугольников[править | править вики-текст]

Подобие в прямоугольном треугольнике[править | править вики-текст]

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
  • Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Литература[править | править вики-текст]

  • Геометрия 7-9/Л. С. Атанасян и др. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 c.:

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]