Абелева группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

А́белева (или коммутати́вная) гру́ппагруппа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа (G, *) абелева, если a*b=b*a для любых двух элементов a,\;b\in G.

Групповая операция в абелевых группах обычно называется «сложением» и обозначается знаком +.

Название дано в честь норвежского математика Н. Абеля за его вклад в исследование групп подстановок.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
  • Любая циклическая группа G=\langle a\rangle. Действительно, для любых x=a^n и y=a^m верно, что
    xy = a^ma^n=a^{m+n}=a^na^m=yx.
  • Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению; примером может служить поле \R вещественных чисел с операцией сложения чисел.
  • Обратимые элементы коммутативного кольца (в частности, ненулевые элементы любого поля) образуют абелеву группу по умножению. Например, абелевой группой является множество ненулевых вещественных чисел с операцией умножения.

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность векторного пространства над полем \Q рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

Свойства[править | править исходный текст]

Конечные абелевы группы[править | править исходный текст]

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. \Z_{mn} изоморфно прямой сумме \Z_m и \Z_n тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу G в форме прямой суммы

\Z_{k_1}\oplus\ldots\oplus\Z_{k_u}

двумя различными способами:

  • Где числа k_1,\;\ldots,\;k_u степени простых
  • Где k_1 делит k_2, которое делит k_3, и так далее до k_u.

Например, \Z/15\Z=\Z_{15} может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: \Z/15\Z=\{0,\;5,\;10\}\oplus\{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}. То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать; в результате приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

  • Дифференциальной группой называется абелева группа \mathbf{C}, в которой задан такой эндоморфизм d\colon\mathbf{C}\to\mathbf{C}, что d^2=0. Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра \ker\,d — циклами, элементы образа \mathrm{Im}\,d — границами.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Винберг Э. Б.  Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.