Абелево многообразие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Абелево многообразие — это проективное алгебраическое многообразие, являющееся алгебраической группой (это значит, что закон композиции задаётся регулярной функцией).

Эллиптическая кривая является абелевым многообразием размерности один.

При n > 1 абелево многообразие над полем комплексных чисел, как топологическое пространство, гомеоморфно n-мерному комплексному тору (рассматриваемому как проективное многообразие). Для абелевых многообразий над полем комплексных чисел изоморфизм многообразий влечёт групповой изоморфизм.

Можно доказать, что абелево многообразие коммутативно как группа, то есть является абелевой группой.

Теорема Шевалле об алгебраических группах: Любая алгебраическая группа G содержит нормальную подгруппу N, являющуюся аффинным многообразием, так что факторгруппа G/N является абелевым многообразием. (Подгруппа N с таким свойством единственна.)

Литература[править | править вики-текст]

  • Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. Комплексные проективные многообразия. — М.: Мир, 1979.
  • Мамфорд Д. Абелевы многообразия. — М.: 1971.