Абелево расширение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В общей алгебре абелево расширение поля — расширение Галуа, для которого группа Галуа является абелевой. Важным частным примером является циклическое расширение, для которого группа Галуа является циклической.

Например, расширение \Q [\sqrt 2] является абелевым. Его группа Галуа состоит из двух элементов и является абелевой. Нетривиальный автоморфизм переставляет местами числа \sqrt 2 и - \sqrt 2.

Вместо того расширение \Q [\sqrt[3]{2}, \sqrt 3 i] не является абелевым. Данное поле является полем разложения многочлена x^3 - 2 и его автоморфизмы, фиксирующие \Q, переставляют разные корни этого многочлена. Поэтому группа Галуа этого расширения является симметрической группой порядка 3 и не является абелевой.

Произвольное конечное расширение конечного поля является циклическим расширением. Важным примером абелевого расширения является циклотомические (круговые расширения), что получаются присоединением к полю корней из единицы. В случае поля рациональных чисел, вследствие такого расширения получаются круговые поля. Согласно теореме Кронекера — Вебера произвольное абелево расширение рациональных чисел является подполем некоторого кругового поля.

Если поле содержит первообразный корень из единицы степени n, то расширение, полученное присоединением к нему корня степени n из некоторого элемента (расширение Куммера), является абелевым расширением. Для общего случая это утверждение не является верным.

Ссылки[править | править вики-текст]