Абелев интеграл

А́белев интеграл — интеграл от алгебраической функции вида:

$~\int\limits_{z_0}^{z_1}R(z,w)dz ~~~ (1),$

где $~R(z,w)$ — любая рациональная функция от переменных $~z$ и $~w$, связанных алгебраическим уравнением

$~F(z,w)=a_0(z)w^n+a_1(z)w^{n-1}+\cdots+a_n(z)=0 ~~~ (2).$

с целыми рациональными по $~z$ коэффициентами $~a_j(z),j=0,1,\cdots,n$. Уравнению (2) соответствует компактная риманова поверхность $~F$, $~n$-листно накрывающая сферу Римана, на которой $~z, w$, а следовательно, и $~R(z,w)$, рассматриваемые как функции точки поверхности $~F$, однозначны.

Литература

• Спрингер Дж. Глава 10 // Введение в теорию римановых поверхностей / Пер. с англ.. — М., 1960.
• Чеботарев Н. Г. Глава 8,9 // Теория алгебраических функций. — М.: Л., 1948.
• Bliss G. A. Algebraic functions. — N. Y., 1966.

См. также

• Алгебраическая функция
• Интегральное преобразование Абеля