Абсолютная величина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль вещественного или комплексного числа x есть расстояние от x до начала координат.

Более точно:

• Абсолютная величина вещественного числа x есть неотрицательное число, обозначаемое |x| и определяемое следующим образом:
  • если , то | x | = x;
  • если x < 0, то | x | = − x.
• Абсолютная величина комплексного числа z = x + iy (x и y — реальные числа) — неотрицательное число, обозначаемое |z| и определяемое по формуле:

Модуль относится к числу элементарных функций. В математике широко используется тот факт, что геометрически | x₁ − x₂ | равно расстоянию между точками x₁ и x₂ и, таким образом, может быть использовано как мера близости одной величины к другой.

Содержание 1 Свойства 2 Альтернативные определения 3 История 4 См. также

[править] Свойства

Для абсолютной величины имеют место следующие соотношения:

• , причём | a | = 0 только если a = 0.
• .
• | a^k | = | a | ^k если a^k определено.
• Неравенство треугольника:
  • |a + b| ≤ |a| + |b|   или
  • |a − b| ≥ ||a| − |b||

[править] Альтернативные определения

Для вещественных чисел модуль можно определить и другим способом:

• , то есть модуль числа есть максимальное из двух чисел и ,
• .

[править] История

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак абсолютной величины введен в XIX веке Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в XIX веке.

[править] См. также

• Модуль вектора
• Нормированное векторное пространство
• Модуль комплексного числа.