Абсолютная непрерывность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Абсолютная непрерывность — в математическом анализе, свойство функций и мер, состоящее, неформально говоря, в выполнении теоремы Ньютона—Лейбница о связи между интегрированием и дифференцированием. Обычно эта теорема формулируется в терминах интеграла Римана и включает в свои условия интегрируемость производной по Риману. При переходе к более общему интегралу Лебега, естественное требование существования измеримой производной почти всюду становится слишком слабым, и для выполнения соотношения, аналогичного теореме Ньютона — Лейбница, необходимо более тонкое условие, которое и называется абсолютной непрерывностью. Это понятие переносится на меры с помощью производной Радона — Никодима.

Абсолютно непрерывные функции[править | править вики-текст]

Функция f\left(x\right) называется абсолю́тно непреры́вной фу́нкцией на конечном или бесконечном отрезке, если \forall \varepsilon > 0,  \exist \delta > 0 такое, что для любого конечного набора непересекающихся интервалов \left(x_i,y_i\right) области определения функции \,\!f, который удовлетворяет условию \sum \left( y_i - x_i  \right)< \delta , выполнено \sum \left|f\left( y_i \right) - f\left( x_i \right)\right| < \varepsilon.

Абсолютно непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной, и, следовательно, непрерывной. Обратное неверно.

Свойства абсолютно непрерывных функций[править | править вики-текст]

  • Всякая абсолютно непрерывная функция имеет на промежутках конечной длины ограниченную вариацию.
  • Абсолютно непрерывные функции образуют векторное пространство. Более того, они образуют замкнутое подпространство в пространстве функций ограниченной вариации.
  • Произведение абсолютно непрерывных на отрезке конечной длины функций даёт абсолютно непрерывную функцию.
  • Каждая абсолютно непрерывная функция представима в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функций.
  • (Лебег) Если  F абсолютно непрерывна на (a,b), то F' является интегрируемой, и для почти всех x\in[a,b]
\int\limits_a^x {F'(t)\,dt}=F(x)-F(a).

Примеры[править | править вики-текст]

Следующие функции являются непрерывными, но не абсолютно непрерывными:

f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{if }x =0 \\ x \sin(1/x), & \mbox{if } x \neq 0 \end{cases}
на конечных интервалах, содержащих 0;
  • функция  f(x)=x^2 на неограниченных интервалах.

Абсолютно непрерывные меры[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]