Абсолютная непрерывность

Абсолютная непрерывность — в математическом анализе, свойство функций и мер, состоящее, неформально говоря, в выполнении теоремы Ньютона—Лейбница о связи между интегрированием и дифференцированием. Обычно эта теорема формулируется в терминах интеграла Римана и включает в свои условия интегрируемость производной по Риману. При переходе к более общему интегралу Лебега, естественное требование существования измеримой производной почти всюду становится слишком слабым, и для выполнения соотношения, аналогичного теореме Ньютона — Лейбница, необходимо более тонкое условие, которое и называется абсолютной непрерывностью. Это понятие переносится на меры с помощью производной Радона — Никодима.

Абсолютно непрерывные функции

Функция $f\left(x\right)$ называется абсолю́тно непреры́вной фу́нкцией на конечном или бесконечном отрезке, если $\forall \varepsilon > 0$, $\exist \delta > 0$ такое, что для любого конечного набора непересекающихся интервалов $\left(x_i,y_i\right)$ области определения функции $\,\!f$, который удовлетворяет условию $\sum \left( y_i - x_i \right)< \delta$, выполнено $\sum \left|f\left( y_i \right) - f\left( x_i \right)\right| < \varepsilon$.

Абсолютно непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной, и, следовательно, непрерывной. Обратное неверно.

Свойства абсолютно непрерывных функций

• Всякая абсолютно непрерывная функция имеет на промежутках конечной длины ограниченную вариацию.
• Абсолютно непрерывные функции образуют векторное пространство. Более того, они образуют замкнутое подпространство в пространстве функций ограниченной вариации.
• Произведение абсолютно непрерывных на отрезке конечной длины функций даёт абсолютно непрерывную функцию.
• Каждая абсолютно непрерывная функция представима в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функций.
• (Лебег) Если $F$ абсолютно непрерывна на $(a,b)$, то $F'$ является интегрируемой, и для почти всех $x\in[a,b]$

$\int\limits_a^x {F'(t)\,dt}=F(x)-F(a)$.

• Обратно, функция, имеющая на интервале интегрируемую по Лебегу обобщённую производную, является абсолютно непрерывной на нём, с точностью до множества лебеговой меры ноль.
• Липшицева функция является абсолютно непрерывной.

Примеры

Следующие функции являются непрерывными, но не абсолютно непрерывными:

• функция Кантора;
• функция

$f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{if }x =0 \\ x \sin(1/x), & \mbox{if } x \neq 0 \end{cases}$

на конечных интервалах, содержащих 0;

• функция ƒ(x) = x ² на неограниченных интервалах.

Литература

• Никольский С.М. Курс математического анализа. — 3-е. — М.: Наука, 1983. — Т. 2. — 544 с. — ISBN 5-02-014425-8
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.