Абсолютная сходимость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

1 Абсолютная сходимость числовых рядов
2 Абсолютная сходимость несобственных интегралов первого рода
3 Абсолютная сходимость несобственных интегралов второго рода

[править] Абсолютная сходимость числовых рядов

Определение

Ряд $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ называют абсолютно сходящимся числовым рядом, если сходится ряд $\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|$ .

Свойства

из сходимости ряда $\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|$ вытекает сходимость ряда $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ .
При исследовании абсолютной сходимости ряда используют признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
Если ряд $\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|$ расходится, то для выявления условной сходимости числового ряда используют более тонкие признаки: Признак Лейбница, признак Абеля, признак Дирихле.

[править] Абсолютная сходимость несобственных интегралов первого рода

Определение

Несобственный интеграл первого рода $\int\limits_{a}^{+ \infty}f(x)dx$ называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл $\int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx$ .

Свойства

из сходимости интеграла $\int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx$ вытекает сходимость интеграла $\int\limits_{a}^{+ \infty}f(x)dx$ .
Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла первого рода используют признаки сходимости несобственных интегралов первого рода от неотрицательных функций.
Если интеграл $\int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx$ расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла первого рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

[править] Абсолютная сходимость несобственных интегралов второго рода

Определение

Пусть $f (x)$ определена и интегрируема на $[a; b- \varepsilon\ ] \quad \forall \varepsilon\ \in (0; b-a)$ , неограничена в левой окрестности точки $b$ . Несобственный интеграл второго рода $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл $\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$ .

Свойства

из сходимости интеграла $\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$ вытекает сходимость интеграла $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ .
Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла второго рода используют признаки сходимости несобственных интегралов второго рода от неотрицательных функций.
Если интеграл $\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$ расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла второго рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

Абсолютная сходимость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Абсолютная сходимость числовых рядов

[править] Абсолютная сходимость несобственных интегралов первого рода

[править] Абсолютная сходимость несобственных интегралов второго рода

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках