Абсолютная сходимость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сходящийся ряд \sum a_n называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей \sum |a_n|, иначе — сходящимся условно.

Аналогично, если несобственный интеграл \int f(x)\,dx от функции сходится, то он называется сходящимся абсолютно или условно в зависимости от того, сходится или нет интеграл от ее модуля \int |f(x)|\,dx.

В случае общего нормированного пространства модуль в определении заменяется на норму.

Ряды[править | править вики-текст]

Признаки абсолютной сходимости[править | править вики-текст]

Признак сравнения[править | править вики-текст]

Если \exist N_0: |a_n| \leqslant b_n при n \geqslant N_0, то:

  • если ряд \sum b_n сходится, то ряд \sum a_n сходится абсолютно
  • если ряд \sum a_n расходится, то ряд \sum b_n расходится
Согласно критерию Коши, \forall \varepsilon > 0\ \exist N \geqslant N_0\ \forall m \geqslant n \geqslant N:\left|\sum_{k=n}^{m}b_k\right| \leqslant \varepsilon. Значит, \left|\sum_{k=n}^{m}a_k\right| \leqslant \sum_{k=n}^{m}|a_k| \leqslant \sum_{k=n}^{m}b_k \leqslant \left|\sum_{k=n}^{m}b_k\right| \leqslant \varepsilon, и по критерию Коши ряд \sum a_n сходится. Второе утверждение следует из первого, так как если бы ряд \sum b_n сходился, то и ряд \sum a_n сходился бы.

Признак сходимости рядов с монотонно убывающими членами[править | править вики-текст]

Пусть a_1 \geqslant a_2 \geqslant a_3 \geqslant ... \geqslant 0. Тогда ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_n сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^k} = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + 8a_8 + ...

Признаки Коши и Даламбера[править | править вики-текст]

Признак д’Аламбера

Ряд \sum a_n

  1. Сходится абсолютно, если \varlimsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1
  2. Расходится, если \varliminf_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| >  1
  3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых \varliminf_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leqslant 1 \leqslant \varlimsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

Признак Коши

Пусть задан ряд \sum a_n и \alpha = \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}. Тогда

  1. Если \alpha < 1, то ряд сходится абсолютно
  2. Если \alpha > 1, то ряд расходится
  3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых \alpha = 1

Утверждение о сходимости в признаках Коши и Даламбера выводится из сравнения с геометрической прогрессией (со знаменателями \varlimsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| и \alpha соответственно), о расходимости — из того, что общий член ряда не стремится к нулю.

Признак Коши сильнее признака Даламбера в том смысле, что если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость; если признак Коши не позволяет сделать вывода о сходимости, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких выводов; существуют ряды, для которых признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не указывает на сходимость.

Интегральный признак Коши — Маклорена[править | править вики-текст]

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_n, a_n \geqslant 0 и функция f(x): \R \to \R такая, что:

  • f(x) нестрого монотонно убывает: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geqslant f(x_2)
  • \forall \ n: \ f(n) = a_n

Тогда ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_n и интеграл \int\limits_1^\infty f(x) dx сходятся или расходятся одновременно, причем \forall k \geqslant 1 \ \sum_{n=k}^{\infty} a_n \geqslant \int\limits_k^{\infty} f(x) dx \geqslant \sum_{n=k+1}^{\infty} a_n

Признак Раабе[править | править вики-текст]

Пусть задан ряд \sum a_n, a_n > 0 и R_n = n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right).

  1. Если \varliminf_{n \to \infty} R_n > 1, то ряд сходится
  2. Если \varlimsup_{n \to \infty} R_n \leqslant 1, то ряд расходится
  3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых \varliminf_{n \to \infty} R_n \leqslant 1 \leqslant \varlimsup_{n \to \infty} R_n

Признак Раабе основан на сравнении с обобщенным гармоническим рядом

Действия над рядами[править | править вики-текст]

  • Если оба ряда \sum a_n и \sum b_n сходятся абсолютно, то и их сумма \sum (a_n + b_n) сходится абсолютно
  • Если хотя бы один из рядов \sum_{n=0}^\infty a_n и \sum_{n=0}^\infty b_n сходится абсолютно, то их произведение по Коши \sum c_n, c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} сходится, если же оба ряда сходятся абсолютно, то и их произведение сходится абсолютно
  • Ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда каждая его перестановка сходится. При этом все перестановки абсолютно сходящегося ряда сходятся к одной и той же сумме.

Примеры[править | править вики-текст]

Рассмотрим ряд \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{2^3} + .... Для этого ряда:

  • \varliminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0
  • \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n]{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
  • \varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{2}\right)^n = +\infty

Таким образом, признак Коши указывает на сходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.


Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-(-1)^n}

  • \varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1+1}}{2^{n-1}} = 8
  • \varliminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1-1}}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}
  • \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} 2 \sqrt[n]{2^{(-1)^n}} = 2

Таким образом, признак Коши указывает на расходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.


Ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha} сходится при \alpha > 1 и расходится при \alpha \leqslant 1, однако:

  • \varliminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^\alpha = 1
  • \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} n^{\alpha/n} = 1
  • \varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^\alpha = 1

Таким образом, признаки Коши и Даламбера не позволяют сделать никаких выводов.


Ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} сходится условно по признаку Лейбница, но не абсолютно, так как гармонический ряд \sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} расходится.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов первого рода[править | править вики-текст]

Определение

Несобственный интеграл первого рода \int\limits_{a}^{+ \infty}f(x)dx называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл \int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx.

Свойства
  • из сходимости интеграла \int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx вытекает сходимость интеграла \int\limits_{a}^{+ \infty}f(x)dx.
  • Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла первого рода используют признаки сходимости несобственных интегралов первого рода от неотрицательных функций.
  • Если интеграл \int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла первого рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов второго рода[править | править вики-текст]

Определение

Пусть f(x) определена и интегрируема на [a; b- \varepsilon\ ] \quad \forall \varepsilon\ \in (0; b-a) , неограничена в левой окрестности точки b. Несобственный интеграл второго рода \int\limits_{a}^{b}f(x)dx называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл \int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx.

Свойства
  • из сходимости интеграла \int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx вытекает сходимость интеграла \int\limits_{a}^{b}f(x)dx.
  • Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла второго рода используют признаки сходимости несобственных интегралов второго рода от неотрицательных функций.
  • Если интеграл \int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла второго рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

Ссылки[править | править вики-текст]

.

Источники[править | править вики-текст]

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.

См. также[править | править вики-текст]