Абсолютное отклонение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математическом анализе абсолютным отклонением двух функций на заданном сегменте называется следующее значение:

\Delta = \sup _{a \leqslant x \leqslant b} | f(x) - g(x) |,

где f(x), g(x) — некоторые функции, [a, b] — сегмент, \sup — операция взятия супремума.[1]

В статистике абсолютное отклонение элементов в совокупности данных — абсолютная разница между элементом и выбранной точкой, от которой отсчитывается отклонение.

В случаях, когда априорно известно, что выбранная точка является константой, а распределение элементов данных симметрично относительно неё, при отсутствии дополнительных данных, за точку отсчёта абсолютного отклонения принимается медиана или среднее значение рассматриваемой совокупности данных.

|D| = |x_i-m(X)|

где

|D| — абсолютное отклонение,
x_i — элемент совокупности данных,
m(X) — одно из средних значений совокупности данных; это может быть среднее арифметическое (\overline{x}), но чаще всего в качестве среднего значения берется медиана.

Среднее абсолютное отклонение, или просто среднее отклонение (англ. MAD, mean absolute deviation) — величина, используемая для оценки прогнозных функций:

MAD=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i-m(X)|

Выбор среднего значения m(X) сильно влияет на среднее отклонение. Например, для совокупности {2, 2, 3, 4, 14}:

Среднее значение m(X) Среднее абсолютное отклонение
Среднее арифметическое = 5 \frac{|2 - 5| + |2 - 5| + |3 - 5| + |4 - 5| + |14 - 5|}{5} = 3.6
Медиана = 3 \frac{|2 - 3| + |2 - 3| + |3 - 3| + |4 - 3| + |14 - 3|}{5} = 2.8
Мода = 2 \frac{|2 - 2| + |2 - 2| + |3 - 2| + |4 - 2| + |14 - 2|}{5} = 3.0

Среднее абсолютное отклонение использовалось в качестве оценки отклонения в исследовании операций на заре развития вычислительной техники, так как требовало меньших затрат вычислительных ресурсов по сравнению с более целесообразным среднеквадратическим отклонением[2].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособие для вузов. — 10-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 624 с. ISBN 5-02-014505-X. С. 160
  2. Исследование операций: В 2-х томах. Пер. с англ./Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. — М.: Мир, 1981. 677 с, ил. С.21-22