Абсолютно непрерывная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Функция $f\left(x\right)$ называется абсолю́тно непреры́вной фу́нкцией на конечном или бесконечном отрезке, если $\forall \varepsilon > 0$ , $\exist \delta > 0$ такое, что для любого конечного набора непересекающихся интервалов $\left(x_i,y_i\right)$ области определения функции $\,\!f$ , который удовлетворяет условию $\sum \left( y_i - x_i \right)< \delta$ , выполнено $\sum \left|f\left( y_i \right) - f\left( x_i \right)\right| < \varepsilon$ .

Абсолютно непрерывная функция является равномерно непрерывной, и, следовательно, непрерывной. Обратное неверно.

[править] Свойства абсолютно непрерывных функций

Абсолютно непрерывные функции образуют векторное пространство.
Каждая абсолютно непрерывная функция представима в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функций
Если функция имеет на отрезке ограниченную производную, то она абсолютно непрерывна на этом отрезке.
(Лебег) Если $F$ интегрируема по Лебегу и абсолютно непрерывна на $(a, b)$ , то $F'$ тоже интегрируема и для почти всех $x\in[a,b], \int\limits_a^b {F'(t)\,dt}=F(b)-F(a)$ .