Автоморфизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Автоморфизм алгебраической системы — изоморфизм, отображающий алгебраическую систему на себя.

Совокупность всех автоморфизмов некоторой алгебраической системы с операцией композиции и тождественным отображением в качестве нейтрального элемента образует группу. Группа автоморфизмов алгебраической системы K обозначается \operatorname{Aut}K.

Наиболее простой пример автоморфизма — это автоморфизм множества, то есть перестановка элементов этого множества.

Понятие автоморфизма можно обобщить на более абстрактные объекты, не являющиеся «множествами с дополнительной структурой». Так, в теории категорий автоморфизм определяется как эндоморфизм, являющийся также изоморфизмом (в категорном смысле этого слова).

Автоморфизмы групп[править | править вики-текст]

Автоморфизм группы — биективный гомоморфизм группы на себя. Автоморфизм f группы G называется внутренним, если существует такой элемент a\in G, что f(x)=axa^{-1} (в этом случае f иногда обозначают как \alpha_a); в противном случае автоморфизм называется внешним.

Группа автоморфизмов группы G обозначается \operatorname{Aut}G, множество внутренних автоморфизмов обозначается \operatorname{Int}G. Поскольку \alpha_g\alpha_h=\alpha_{hg}, \; \operatorname{Int}G — подгруппа в \operatorname{Aut}G, можно также доказать, что она является нормальной подгруппой. Фактор-группа \operatorname{Out}G=\operatorname{Aut}G/\operatorname{Int}G называется группой внешних автоморфизмов группы. Отображение g\to\alpha_g определяет гомоморфизм G\to\operatorname{Int}G, ядро которого есть центр группы Z(G), так что \operatorname{Int}G\cong G/Z(G). Все нормальные подгруппы инвариантны под действием внутренних автоморфизмов. Подгруппы, инвариантные под действием всех автоморфизмов группы, называются характеристическими.

Всякая группа, совпадающая со своей группой автоморфизмов, называется совершенной. Совершенными являются все симметрические группы S_n при n\neq 2;6. Расширение группы с помощью группы автоморфизмов называется голоморфом.

Примеры[править | править вики-текст]

  • \operatorname{Aut}\mathbb{Z}^+ = \mathbb{Z}_2
  • \operatorname{Aut}\mathbb{Q}^+ = \mathbb{Q}^{\times}
  • \operatorname{Aut}\mathbb{Z}_n^+ = \mathbb{Z}_{\varphi(n)}
  • \operatorname{Aut}\mathbb{Z}_p^{\times} = \mathbb{Z}^+_{\varphi(p-1)}
  • \operatorname{Aut}S_n = S_n, n\neq 2;6, \; \operatorname{Out}S_6 = \mathbb{Z}_2
  • Если K — поле, характеристика которого больше двух, то \operatorname{Aut}\operatorname{GL}_n(K) = \operatorname{SL}_n(K).
  • Группа автоморфизмов множества всех комплексных корней степеней p^n из единицы есть группа p-адических чисел по сложению.
  • Группа внешних автоморфизмов свободной группы конечного ранга порождается преобразованиями Нильсена элементов базиса
  • Множество автоморфизмов группы Ли также образует группу Ли.[1]

Автоморфизмы колец[править | править вики-текст]

Автоморфизмы полей[править | править вики-текст]

Автоморфизмы графов[править | править вики-текст]

Наименьшее асимметрическое дерево
Наименьший асимметрический граф

Автоморфизм графа есть отображение множества вершин на себя, сохраняющее смежность.[2] Множество таких автоморфизмов образует вершинную группу графа или просто группу графа. Группа подстановок на множестве ребер называется реберной группой графа, которая тесно связана с вершинной:

Реберная и вершинная группы графа изоморфны тогда и только тогда, когда имеется не более одной изолированной вершины, и нет компонент связности состоящих из единственного ребра.[3]

Граф, для которого единственный возможный автоморфизм это тождественное отображение, называется асимметрическим. Наименьшее асимметрическое дерево имеет семь вершин, а наименьший асимметрический граф шесть вершин и столько же ребер.

Для любой конечной группы найдется такой конечный неориентированный граф, что его группа автоморфизмов изоморфна данной.[4] Результат получен Р. Фрухтом, в основе доказательства — преобразование цветного графа группы, обобщения графа Кэли.[5][6]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Л. С. Понтрягин Непрерывные группы стр. 121
  2. Ф. Харари Теория графов стр. 190
  3. Ф. Харари Теория графов стр. 192
  4. А. И. Белоусов Дискретная математика. — 4-е изд. — МГТУ имени Н. Э. Баумана, 2006. — С. 349. — 744 с.
  5. Ф. Харари Теория графов стр. 198—201
  6. О. Оре Теория графов стр. 317

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]