Автономная система дифференциальных уравнений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Автономная система дифференциальных уравнений (другое название: стационарная система дифференциальных уравнений) — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда аргумент t системы не входит явным образом в функции, задающие систему.

Автономная система в нормальном виде имеет вид:
\frac{dx_k}{dt} = f_k(x_1, ..., x_n),\,k = 1, ..., n

или в векторной записи:
\frac{d\bar{x}}{dt} = \bar{f}(\bar{x})

Приведение к автономному виду[править | править исходный текст]

Любую систему дифференциальных уравнений можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию x_{n+1}, заменив ею аргумент t там, где он входит явно, и дополнив систему ещё одним уравнением \frac{dx_{n+1}}{dt} = 1. Такая замена, однако, имеет преимущественно теоретическое значение, так как увеличивает размерность системы с n на n+1, что усложняет структуру семейства решений.

Свойства автономной системы[править | править исходный текст]

Если \bar{x} = \bar{x}(t) - решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, т.е. процесс, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, т.е. процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, т.е. x_1,\dots,x_n, и не зависят от выбора начального значения аргумента t.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

  • В.И.Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения.