Аксиальный вектор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
После инверсии два вектора меняют свой знак, однако их векторное произведение остаётся неизменным.

Аксиальный вектор (англ. axial, осевой) или псевдовектор — величина, компоненты которой преобразуются как вектор при поворотах системы координат, но меняющие свой знак противоположно тому, как ведут себя компоненты вектора при любой инверсии (обращении знака) координат. Т.е. псевдовектор меняет направление на противоположное при сохранении абсолютной величины (домножается на минус единицу) при любой инверсии координатной системы.

Для того, чтобы подчеркнуть отличие настоящего вектора, координаты которого всегда преобразуются так же, как координаты вектора перемещения, настоящий вектор называют истинным или полярным вектором.

Простейшим примером аксиального вектора в трёхмерном пространстве является векторное произведение двух полярных векторов, например, в механикемомент импульса  \mathbf L = \mathbf r \times \mathbf p, в четырёхмерном пространстве — аксиальный ток.

Основные сведения[править | править вики-текст]

При преобразовании координат координаты аксиального вектора получают домножением на дополнительный множитель (-1) по сравнению с преобразованием координат истинных (иначе называемых полярными) векторов, если базис меняет ориентацию (например, если базис подвергают зеркальному отражению). Это, наряду с псевдоскаляром, частный случай псевдотензора. Графически изображенный псевдовектор при таком изменении координат меняет направление на противоположное.

  • В геометрии наиболее употребительным применением псевдовектора может быть представление с его помощью трехмерного бесконечно малого поворота. Вероятно(?), термин аксиальный вектор происходит именно отсюда, так как псевдовектор определяет ось поворота (ее направление), но только с точностью до множителя (±1), с направлением же вращения связан условным произвольным выбором правого базиса, в отличие от истинного (полярного) вектора, представляющего направленный отрезок (или параллельный перенос) вполне определенно и однозначно заданного точками начала и конца.

Обычный путь порождения псевдовекторов это псевдовекторные операции, наиболее обычной, если не единственной из употребительных в трехмерном случае является векторное произведение (так как оно в обычной координатной записи включает псевдотензор Леви-Чивиты) и операции, содержащие векторное произведение (например, ротор и т.п.) или нечетное их количество. Псевдовекторная операция порождает из истинных векторов и скаляров псевдовекторы и псевдоскаляры.

Так, при умножении истинного вектора на истинный вектор — получается в скалярном произведении истинный скаляр, а в векторном произведении — псевдовектор. При умножении истинного вектора на псевдовектор — получается в скалярном произведении псевдоскаляр, а в векторном произведении истинный вектор. При перемножении двух псевдовекторов — получаются соответственно истинный скаляр и псевдовектор.

В физических теориях, за исключением таких, в которых присутствует явное и в принципе наблюдаемое нарушение зеркальной симметрии пространства, псевдовекторы могут присутствовать в промежуточных величинах, но в конечных, наблюдаемых — множители (-1) при зеркальных отражениях координат должны уничтожаться, встречаясь в произведениях четное количество раз (четное количество псевдовекторных + псевдоскалярных + других псевдотензорных множителей).

  • Например, в классической электродинамике индукция магнитного поля — псевдовектор, так как порождается псевдовекторной операцией, например \ \mathbf j \times \mathbf r \ в законе Био-Савара, но сама эта величина (псевдовектор) определена в принципе с точностью до условного множителя, который может быть выбран +1 или −1. Однако реально наблюдаемая величина — ускорение заряда под действием магнитного поля — при своем вычислении содержит еще одну псевдовекторную операцию \ \mathbf v \times \mathbf B\ в выражении для силы Лоренца, дающую еще один условный множитель ±1, равный первому, в ответе же произвол пропадает, так как произведение ±1·(±1) дает просто 1.
  • В механике наиболее часто встречающаяся псевдовекторная величина — вектор угловой скорости и связанные с нею (например, момент импульса). Истинный вектор скорости получается из псевдовектора угловой скорости \ \mathbf{\omega}\ псевдовекторной операцией \ \mathbf{\omega} \times \mathbf r \ .

См. также[править | править вики-текст]