Аксиоматика Гильберта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Аксиоматика Гильберта — система аксиом евклидовой геометрии. Разработана Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида.

Неопределяемые понятия[править | править исходный текст]

Неопределяемыми понятиями в системе аксиом Евклида являются: точка, прямая линия, плоскость. Есть также 3 элементарных бинарных отношения:

  • Лежать между, применимо к точкам;
  • Содержать, применимо к точкам и прямым, точкам и плоскостям или прямым и плоскостям;
  • Конгруэнтность (геометрическое равенство), применимо, например, к отрезкам, углам или треугольникам, и обозначается инфиксным символом ≅.

Все точки, прямые и плоскости предполагаются различными, если не оговорено особое.

Аксиомы[править | править исходный текст]

Система из 20 аксиом поделена на 5 групп:

  • аксиомы принадлежности:
    • планиметрические:
      1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.
      2. Каковы бы ни были две различные точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.
      3. Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.
    • стереометрические:
      1. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.
      2. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.
      3. Если две принадлежащие прямой a различные точки A и B принадлежат некоторой плоскости α, то каждая принадлежащая прямой a точка принадлежит указанной плоскости.
      4. Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обеим этим плоскостям.
      5. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.
  • аксиомы порядка:
    • линейные:
      1. Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С — различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А.
      2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка В такая, что С лежит между А и В.
      3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой, существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
    • Аксиома Паша
  • аксиомы конгруэнтности:
    • конгруэнтность отрезков:
      1. Если А и В — две точки на прямой а, А’ — точка на той же прямой или на другой прямой а’, то по данную от точки А’ сторону прямой а’ найдется, и притом только одна, точка В’ такая, что отрезок А’B’ конгруэнтен отрезку АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА.
      2. Если отрезки А’B’ и А"B" конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой.
      3. Пусть АВ и ВС — два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, А’B’ и B’C’ — два отрезка той же прямой, или другой прямой а’, также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А’B’, а отрезок ВС конгруэнтен отрезку B’C’, то отрезок АС конгруэнтен отрезку А’C’.
    • конгруэнтность углов:
      1. Если даны угол ∠ABC и луч B’C', лежащий в плоскости данного угла, тогда существует ровно два луча, также лежащие в плоскости данного угла, B’D и B’E, такие, что ∠DB’C' ≅ ∠ABC и ∠EB’C' ≅ ∠ABC.
    • Следствие. Каждый угол конгруэнтен сам себе.
      1. Треугольники ΔABC ≅ ΔA’B’C', если AB ≅ A’B', AC ≅ A’C', и ∠BAC ≅ ∠B’A’C'.
  • аксиомы непрерывности
      1. Аксиома Архимеда. Если даны отрезок CD и луч AB, то существует число n и n точек A1,…,An на AB таких, что: AjAj+1 ≅ CD, 1\leqslant j<n, и B лежит между A1 и An.
      2. «Полнота линии». Добавление хотя бы одной дополнительной точки в прямую линию вызовет противоречие с одной из аксиом принадлежности, порядка, первыми двумя аксиомами конгруэнтности или аксиомой Архимеда.
  • аксиома параллельности, для которой Гильберт выбрал не евклидовскую формулировку, а эквивалентную ей, но более простую аксиому Прокла:
      1. Пусть a есть произвольная прямая и A — точка вне её; тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, можно провести не более одной прямой, проходящей через A и не пересекающей a.

21-я аксиома[править | править исходный текст]

Гильберт изначально (1899) включил 21-ю аксиому:

«Любым четырём точкам на прямой можно присвоить имена A, B, C, и D так, чтобы точка B лежала между точками A и C, а также между A и D; точка C — между A и D, а также между B и D».

Элиаким Гастингс Мур и Роберт Ли Мур (англ.) в 1902 году независимо доказали, что эта аксиома избыточна.

История[править | править исходный текст]

Аксиоматическая схема евклидовой геометрии была опубликована Давидом Гильбертом в 1899 году в праздничном томе «Festschrift», посвящённом открытию в Гёттингене памятника Карлу Фридриху Гауссу и его другу физику Вильгельму Веберу. Ныне «Основания геометрии» изданы на многих языках мира, одно из двух изданий на русском языке указано внизу в ссылках.

Другие системы аксиом[править | править исходный текст]

Создатели догильбертовских систем:

Родственные гильбертовой:

Более современые аксиоматики:

Ссылки[править | править исходный текст]