Аксиома булеана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Аксиома существования булеана (аксиома множества подмножеств) формулируется так: «из любого множества можно образовать булеан, то есть такое множество ~ d, которое состоит из всех собственных и несобственных подмножеств ~ b данного множества ~  a». Согласно теории множеств математически эта аксиома записывается так:

~ \forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow \forall c \ (c \in b \to c \in a) \ )

В аксиоме булеана указан тип множеств (подмножества множества ~ a), которые должны быть элементами образуемого множества ~ d. Вместе с тем, аксиома булеана не содержит алгоритм нахождения всех элементов образуемого множества ~ d.

Аксиому булеана можно вывести из следующих высказываний:

  • ~ \exist d \forall b \ (b \subseteq a \to b \in d)
  • ~ \forall d \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in d \land b \subseteq a)

Первое из этих высказываний — одно из следствий аксиомы булеана, а второе — одна из конкретизаций схемы выделения.

Руководствуясь аксиомой объёмности, можно доказать единственность булеана для каждого множества ~ a. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома булеана равносильна высказыванию

~ \forall a \exists ! d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a), что есть ~ \forall a \exist d \ (d = \{b: b \subseteq a\} \quad \land \quad  \forall d' \ (d' \ne d \to d' \ne \{b: b \subseteq a\}) \ ).

Альтернативные формулировки аксиомы[править | править вики-текст]

~ \forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a), где ~  b \subseteq a \Leftrightarrow \forall c \ (c \in b \to c \in a)

~ \forall a \exist d \ (d = \{b: b \subseteq a\})

~ \forall a \exist d \forall b \ (b \notin d \leftrightarrow \exist c \ (c \in b \land c \notin a))

См. также[править | править вики-текст]