Аксиома объединения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Аксиомой объединения называется следующее высказывание теории множеств:

~ \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ )

Аксиому объединения можно сформулировать по-русски, а именно: "Из любого семейства ~ a множеств ~ b можно образовать как минимум одно такое множество ~ d, каждый элемент ~ c которого принадлежит хотя бы одному множеству ~ b данного семейства ~ a."

Другие формулировки аксиомы объединения[править | править вики-текст]

~ \forall a \exist d \ (d = \{c: \ \exist b \ (b \in a \land c \in b)\})

~ \forall a \exist d \forall c \ (c \notin d \leftrightarrow \forall b \ (b \in a \to c \notin b))

Примечания[править | править вики-текст]

0. В аксиоме объединения указан тип множеств (элементы множеств семейства ~ a), которые должны быть элементами образуемого множества ~ d. Вместе с тем, аксиома объединения не содержит алгоритм нахождения всех элементов образуемого множества ~ d.

"Кто виноват?" - известно. "Что делать?" - неизвестно.

1. О выводимости аксиомы объединения.

2. Руководствуясь аксиомой объёмности можно доказать единственность образуемой "кучи-малы" ~ d для каждого семейства множеств ~ a. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома объединения равносильна следующему высказыванию

~ \forall a \exists ! d \forall c \ (c \in d \ \leftrightarrow \ \exist b \ (b \in a \land c \in b)), что есть ~ \forall a \exist d \ (d = \{c: \ \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b)\} \quad \land \quad \neg(\exist d' \ (d' \ne d \ \land \ d' = \{c: \ \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b)\})) \ )


3. Об аналогии с законом возрастания энтропии.

4. Прочее

~ a = \{a_1, a_2\} \Rightarrow \exist d \forall c (c \in d \leftrightarrow \exist b (b \in \{a_1,a_2\} \ \land \ c \in b)) \Leftrightarrow \exist d \forall c (c \in d \leftrightarrow c \in a_1 \ \lor \ c \in a_2)


См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]