Аксиома объединения

Аксиомой объединения называется следующее высказывание теории множеств:

$~ \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ )$

Аксиому объединения можно сформулировать по-русски, а именно: "Из любого семейства $~ a$ множеств $~ b$ можно образовать как минимум одно такое множество $~ d$, каждый элемент $~ c$ которого принадлежит хотя бы одному множеству $~ b$ данного семейства $~ a$."

Другие формулировки аксиомы объединения

$~ \forall a \exist d \ (d = \{c: \ \exist b \ (b \in a \land c \in b)\})$

$~ \forall a \exist d \forall c \ (c \notin d \leftrightarrow \forall b \ (b \in a \to c \notin b))$

Примечания

0. В аксиоме объединения указан тип множеств (элементы множеств семейства $~ a$), которые должны быть элементами образуемого множества $~ d$. Вместе с тем, аксиома объединения не содержит алгоритм нахождения всех элементов образуемого множества $~ d$.

"Кто виноват?" - известно. "Что делать?" - неизвестно.

1. О выводимости аксиомы объединения.

2. Руководствуясь аксиомой объёмности можно доказать единственность образуемой "кучи-малы" $~ d$ для каждого семейства множеств $~ a$. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома объединения равносильна следующему высказыванию

$~ \forall a \exists ! d \forall c \ (c \in d \ \leftrightarrow \ \exist b \ (b \in a \land c \in b))$, что есть $~ \forall a \exist d \ (d = \{c: \ \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b)\} \quad \land \quad \neg(\exist d' \ (d' \ne d \ \land \ d' = \{c: \ \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b)\})) \ )$

3. Об аналогии с законом возрастания энтропии.

4. Прочее

$~ a = \{a_1, a_2\} \Rightarrow \exist d \forall c (c \in d \leftrightarrow \exist b (b \in \{a_1,a_2\} \ \land \ c \in b)) \Leftrightarrow \exist d \forall c (c \in d \leftrightarrow c \in a_1 \ \lor \ c \in a_2)$

См. также

• Аксиоматика теории множеств

• Аксиома булеана