Аксиома объёмности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Аксиомой объёмности называется следующее высказывание теории множеств:

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \to a_1 = a_2)

Если переписать аксиому объёмности в виде

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \to b \in a_2) \ \land \ \forall b \ (b \in a_2 \to b \in a_1) \to a_1 = a_2),

тогда названную аксиому можно сформулировать по-русски:

"Каковы бы ни были два множества, если каждый элемент 1-го множества принадлежит 2-му множеству, а каждый элемент 2-го множества принадлежит 1-му множеству, тогда первое множество идентично второму множеству."

Другие формулировки аксиомы объёмности[править | править исходный текст]

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 \subseteq a_2 \ \land \ a_2 \subseteq a_1 \to a_1 = a_2)

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 \ne a_2 \to \exist b \ (b \in a_1 \ \veebar \ b \in a_2) \ )

Примечания[править | править исходный текст]

Аксиома объёмности выражает необходимое условие равенства двух множеств. Достаточное условие равенства множеств выводится из аксиом предиката ~ =, а именно:

~ \forall a \ (a = a),
~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \to (\varphi[a_1] \to \varphi[a_2])), где ~ \varphi[a_1] — любое математически корректное суждение об ~ a_1, а Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\var»): ~ \varкеphi[a_2]
— то же самое суждение, но об ~ a_2.

Соединяя указанное достаточное условие равенства множеств с аксиомой объёмности, получаем следующий критерий равенства множеств:

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \leftrightarrow \forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \ )

Указанный критерий равенства множеств не хуже и не лучше других аналогичных критериев, включая:

1) критерий равенства комплексных чисел

~ \forall x \forall y \forall u \forall v \ (x,y,u,v \in \mathbb{R} \to (x + iy = u + iv \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v)),

2) критерий равенства упорядоченных пар

~ \forall x \forall y \forall u \forall v  \ ( \ (x,y) = (u,v) \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v) \ ),

3) критерий равенства неупорядоченных пар

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\for»): ~ \forall x \forall y \forкеall u \forall v \ (\{x,y\} = \{u,v\} \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v \quad \lor \quad x = v \ \land \ y = u) \ )

,

4) критерий равенства двух последовательностей

~ \{x_n\} = \{y_n\} \leftrightarrow \forall i \ (i \in \mathbb{N} \to x_i = y_i).

Из изложенного ясно, что аксиома объёмности является органичной частью аксиоматики теории множеств.

Аксиому объёмности применяют при доказательстве единственности множества, существование которого уже декларировано [аксиомой} либо установлено [доказательством теоремы].

Примеры

1. Доказательство единственности пустого множества

Существование [по меньшей мере одного] пустого множества декларировано аксиомой

~ \exist a \forall b \ (b \notin a).

Требуется доказать существование не более, чем одного множества ~ a, для которого верно высказывание

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\noti»): ~ \forall b \ (b \notiкепn a)

.

Иначе говоря, требуется доказать

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\fo»): ~ \exist \{0,1\} a \ (\foкпекrall b \ (b \notin a))


Или, что то же самое, требуется доказать

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b (b \notin a_1) \ \land \ \forall b (b \notin a_2) \to a_1 = a_2)

Доказательство

Невозможно разобрать выражение (лексическая ошибка): \begin{align} \forall b (b \notin a_1) \ \land \ \forall b (b \notin a_2) \Leftrightarrow \forall b (b \notin a_1 \ \land \ b \notin a_2) \Rightarrow \forall b (b \notin a_1 \leftrightarrow b \notin a_2) \\ \ \Leftrightarrow \forall b (b \inке a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \Rightarrow a_1 = a_2 \end{align}


Поскольку ~ \exist a \forall b \ (b \notin a) \ \land \ \exist\{0,1\}a \forall b \ (b \notin a) \Leftrightarrow \exist \{1\} a \forall b \ (b \notin a), постольку доказательство единственности пукепстого множества завершено.

2. Доказательство единственносекти множества подмножеств

Существование [по меньшей мере одного] множества подмножеств декларировано аксиомой

~ \forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)

Требуется доказать существование не более, чем одного множества ~ d, для которого верно высказывание

~ \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)

Иначе говоря, требуется доказать

~ \exist \{0,1\} d \ (\forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a))

Или, что то же самое, требуется доказать

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\fo»): ~ \forall d_1 \forall d_2 \ (\foкеrall b \ (b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \forall b \ (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a) \to d_1 = d_2)


Доказательство

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\subs»): \begin{align} \forall b (b \in d_1 \leftrightarrow b \subsепкeteq a) \ \land \ \forall b (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a) \Leftrightarrow \forall b ((b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a)) \\ \ \Rightarrow \forall b (b \in d_1 \leftrightкеarrow b \in d_2) \Rightarrow d_1 = d_2 \end{align}


Поскольку Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\leftrigh»): ~ \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \exist \{0,1\}d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) \Leftrightarrow \exist \{1\}d \forall b \ (b \in d \leftrighкепtarrow b \subseteq a) , постольку доказательство единственности множества подмножеств завершено.


См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]