Аксиома объёмности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Аксиомой объёмности называется следующее высказывание теории множеств:

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \to a_1 = a_2)

Если переписать аксиому объёмности в виде

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \to b \in a_2) \ \land \ \forall b \ (b \in a_2 \to b \in a_1) \to a_1 = a_2),

тогда названную аксиому можно сформулировать по-русски:

"Каковы бы ни были два множества, если каждый элемент 1-го множества принадлежит 2-му множеству, а каждый элемент 2-го множества принадлежит 1-му множеству, тогда первое множество идентично второму множеству."

Другие формулировки аксиомы объёмности[править | править вики-текст]

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 \subseteq a_2 \ \land \ a_2 \subseteq a_1 \to a_1 = a_2)

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 \ne a_2 \to \exist b \ (b \in a_1 \ \veebar \ b \in a_2) \ )

Примечания[править | править вики-текст]

Аксиома объёмности выражает необходимое условие равенства двух множеств. Достаточное условие равенства множеств выводится из аксиом предиката ~ =, а именно:

~ \forall a \ (a = a),
~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \to (\varphi[a_1] \to \varphi[a_2])), где ~ \varphi[a_1] — любое математически корректное суждение об ~ a_1, а ~ \varphi[a_2] — то же самое суждение, но об ~ a_2.

Соединяя указанное достаточное условие равенства множеств с аксиомой объёмности, получаем следующий критерий равенства множеств:

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \leftrightarrow \forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \ )

Указанный критерий равенства множеств не хуже и не лучше других аналогичных критериев, включая:

1) критерий равенства комплексных чисел

~ \forall x \forall y \forall u \forall v \ (x,y,u,v \in \mathbb{R} \to (x + iy = u + iv \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v)),

2) критерий равенства упорядоченных пар

~ \forall x \forall y \forall u \forall v  \ ( \ (x,y) = (u,v) \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v) \ ),

3) критерий равенства неупорядоченных пар

~ \forall x \forall y \forall u \forall v \ (\{x,y\} = \{u,v\} \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v \quad \lor \quad x = v \ \land \ y = u) \ ),

4) критерий равенства двух последовательностей

~ \{x_n\} = \{y_n\} \leftrightarrow \forall i \ (i \in \mathbb{N} \to x_i = y_i).

Из изложенного ясно, что аксиома объёмности является органичной частью аксиоматики теории множеств.

Аксиому объёмности применяют при доказательстве единственности множества, существование которого уже декларировано [аксиомой} либо установлено [доказательством теоремы].

Примеры

1. Доказательство единственности пустого множества

Существование [по меньшей мере одного] пустого множества декларировано аксиомой

~ \exist a \forall b \ (b \notin a).

Требуется доказать существование не более, чем одного множества ~ a, для которого верно высказывание

~ \forall b \ (b \notin a).

Иначе говоря, требуется доказать

~ \exist \{0,1\} a \ (\forall b \ (b \notin a))

Или, что то же самое, требуется доказать

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b (b \notin a_1) \ \land \ \forall b (b \notin a_2) \to a_1 = a_2)

Доказательство

\begin{align} 
\forall b (b \notin a_1) \ \land \ \forall b (b \notin a_2) \Leftrightarrow \forall b (b \notin a_1 \ \land \ b \notin a_2) \Rightarrow \forall b (b \notin a_1 \leftrightarrow b \notin a_2) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \forall b (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \Rightarrow a_1 = a_2 
\end{align}

Поскольку ~ \exist a \forall b \ (b \notin a) \ \land \ \exist\{0,1\}a \forall b \ (b \notin a) \Leftrightarrow \exist \{1\} a \forall b \ (b \notin a), постольку доказательство единственности пустого множества завершено.

2. Доказательство единственности множества подмножеств

Существование [по меньшей мере одного] множества подмножеств декларировано аксиомой

~ \forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)

Требуется доказать существование не более, чем одного множества ~ d, для которого верно высказывание

~ \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)

Иначе говоря, требуется доказать

~ \exist \{0,1\} d \ (\forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a))

Или, что то же самое, требуется доказать

~ \forall d_1 \forall d_2 \ (\forall b \ (b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \forall b \ (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a) \to d_1 = d_2)

Доказательство

\begin{align} 
\forall b (b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \forall b (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a) \Leftrightarrow \forall b ((b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a)) 
\\ \ 
\Rightarrow \forall b (b \in d_1 \leftrightarrow b \in d_2) \Rightarrow d_1 = d_2 
\end{align}

Поскольку ~ \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \exist \{0,1\}d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) \Leftrightarrow \exist \{1\}d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a), постольку доказательство единственности множества подмножеств завершено.


См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]