Аксиома пары

Аксиомой [существования неупорядоченной] пары называется следующее высказывание теории множеств:

$~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall b \ (b \in c \ \leftrightarrow \ b = a_1 \ \lor \ b = a_2)$

Аксиому пары можно сформулировать по-русски, а именно: «Из любых двух [одинаковых или разных] множеств можно образовать [по меньшей мере одну] „неупорядоченную пару“, то есть такое множество $~ c$, каждый элемент $~ b$ которого идентичен данному множеству $~ a_1$ или данному множеству $~ a_2$.»

Другие формулировки аксиомы пары

$~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \ (c = \{b: \ b = a_1 \ \lor \ b = a_2\} \ )$

$~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall b \ (b \notin c \ \leftrightarrow \ b \ne a_1 \ \land \ b \ne a_2)$

$~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \ (a_1 \in c \ \land \ a_2 \in c \quad \land \quad \forall b \ (b \ne a_1 \ \land \ b \ne a_2 \to b \notin c) \ )$

Примечания

1. Акиому пары можно вывести из схемы преобразования

• $~ \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \ \leftrightarrow \ \exist b \ (b \in a \ \land \ c = \mathrm{f}(b) \ ))$, если положить $~ a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))$ и выбрать функцию $~ \mathrm{f}$ такой, что $~ c = \mathrm{f}(b) \ \Leftrightarrow \ (b = \varnothing \to c = a_1) \land (b \ne \varnothing \to c = a_2)$.

2. Руководствуясь аксиомой объёмности можно доказать единственность [неупорядоченной] пары. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома пары равносильна высказыванию

$~ \forall a_1 \forall a_2 \exists ! c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a_1 \lor b = a_2)$, что есть $~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall c' \ (\forall b \ (b \in c' \leftrightarrow b = a_1 \lor b = a_2) \ \leftrightarrow c = c')$

Последнее высказывание позволяет утверждать следующее: «Из любых двух [одинаковых или разных] множеств можно образовать только одну „неупорядоченную пару“, то есть такое множество $~ c$, каждый элемент $~ b$ которого идентичен данному множеству $~ a_1$ или данному множеству $~ a_2$.»

3. Из аксиомы пары можно вывести теорему о существовании одноэлементного множества:

$~ \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a)$

См. также

• Аксиоматика теории множеств