Аксиома пары

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Аксиомой [существования неупорядоченной] пары называется следующее высказывание теории множеств:

~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall b \ (b \in c \ \leftrightarrow \ b = a_1 \ \lor \ b = a_2)

Аксиому пары можно сформулировать по-русски, а именно: «Из любых двух [одинаковых или разных] множеств можно образовать [по меньшей мере одну] „неупорядоченную пару“, то есть такое множество ~ c, каждый элемент ~ b которого идентичен данному множеству ~ a_1 или данному множеству ~ a_2

Другие формулировки аксиомы пары[править | править вики-текст]

~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \ (c = \{b: \ b = a_1 \ \lor \ b = a_2\} \ )

~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall b \ (b \notin c \ \leftrightarrow \ b \ne a_1 \ \land \ b \ne a_2)

~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \ (a_1 \in c \ \land \ a_2 \in c \quad \land \quad \forall b \ (b \ne a_1 \ \land \ b \ne a_2 \to b \notin c) \ )

Примечания[править | править вики-текст]

1. Аксиому пары можно вывести из схемы преобразования

  • ~ \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \ \leftrightarrow \ \exist b \ (b \in a \ \land \ c = \mathrm{f}(b) \ )), если положить ~ a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) и выбрать функцию ~ \mathrm{f} такой, что ~ c = \mathrm{f}(b) \ \Leftrightarrow \ (b = \varnothing \to c = a_1) \land (b \ne \varnothing \to c = a_2).

2. Руководствуясь аксиомой объёмности можно доказать единственность [неупорядоченной] пары. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома пары равносильна высказыванию

~ \forall a_1 \forall a_2 \exists ! c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a_1 \lor b = a_2), что есть ~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall c' \ (\forall b \ (b \in c' \leftrightarrow b = a_1 \lor b = a_2) \ \leftrightarrow c = c')

Последнее высказывание позволяет утверждать следующее: «Из любых двух [одинаковых или разных] множеств можно образовать только одну „неупорядоченную пару“, то есть такое множество ~ c, каждый элемент ~ b которого идентичен данному множеству ~ a_1 или данному множеству ~ a_2

3. Из аксиомы пары можно вывести теорему о существовании одноэлементного множества:

~ \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a)


См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]