Аксиома пустого множества

Аксиомой [существования] пустого множества называется следующее высказывание теории множеств

$~ \exist a \forall b \ (b \notin a)$

Аксиома пустого множества провозглашает существование по меньшей мере одного пустого множества, то есть множества, не содержащего ни одного элемента. Пустое множество является своим подмножеством, но не является своим элементом.

Другие формулировки аксиомы пустого множества

$~ \neg \ (\forall a \exist b \ (b \in a))$

$~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow b \ne b)$, что есть $~ \exist a \ (a = \{b: \ b \ne b\})$

$~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow b \in b)$, что есть $~ \exist a \ (a = \{b: \ b \in b\})$

$~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow a \in b)$, что есть $~ \exist a \ (a = \{b: \ a \in b\})$

$~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow b \not \subset b)$, что есть $~ \exist a \ (a = \{b: \ b \not \subset b\})$

$~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow b \subsetneq b)$, что есть $~ \exist a \ (a = \{b: \ b \subsetneq b\})$

$~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow \Phi[b] \ \land \ \neg \Phi[b])$, что есть $\exist a \ (a = \{b: \ \Phi[b] \ \land \ \neg \Phi[b]\})$

$~ \cdots$

Примечания

1. Аксиому пустого множества можно вывести из следующей совокупности высказываний:

• $~ \forall a \forall b \ (b = b \to (b \notin a \to b = b) \ )$,
• $~ \forall b \ (b = b)$,
• $~ \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b \ne b)$.

Кроме того, аксиому пустого множества можно вывести из аксиомы бесконечности, представленной в следующем виде:

• $~ \exist a \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \quad \land \quad \forall b \ (b \in a \to \exist c \ (c \in a \ \land \ \forall d \ (d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b))))$

2. Руководствуясь аксиомой объёмности, можно доказать единственность пустого множества. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома пустого множества равносильна высказыванию

$~ \exists ! a \forall b \ (b \notin a)$, что есть $~ \exist a \forall b \ (b \notin a) \quad \land \quad \forall a \forall a' \ (\forall b \ (b \notin a') \ \land \ \forall b \ (b \notin a) \to a' = a)$

Единственность пустого множества не противоречит «бесконечной множественности» описаний пустого множества, включая следующие описания:

• $~ \varnothing = \{b: b \in \mathbb{R} \land 0 \cdot b = 1\}$,
• $~ \varnothing = \{b: b \in \mathbb{N} \land 1 - 2 = b\}$,
• $~ \varnothing = \{b: b \in \mathbb{Z} \land 2 \cdot b = 1\}$,
• $~ \varnothing = \{b: b \in \mathbb{Q} \land b = \sqrt{2}\}$.
• $~ \varnothing = \{b: b \in \mathbb{R} \land b^2 = -1\}$

См. также

• Аксиоматика теории множеств
• Пустое множество