Аксиома регулярности

Аксиомой регулярности (иначе аксиомой фундирования, аксиомой основания) называется следующее высказывание теории множеств:

$~ \forall a \ (a \ne \varnothing \to \exist b \ (b \in a \ \land \ a \cap b = \varnothing) \ )$, где $~ a \cap b = \varnothing \Leftrightarrow \forall c \ (c \in b \to c \notin a)$

Словесная формулировка:

В любом непустом семействе множеств $~ a$ есть множество $~ b$, каждый элемент $~ c$ которого не принадлежит данному семейству $~ a$.

Из аксиомы можно вывести два следствия: «Никакое множество не является элементом самого себя» и «Не существует бесконечной последовательности a_n, такой, что a_i+1 — элемент a_i для всех i» (другими словами: «Не существует бесконечной последовательности вложенных множеств»).

Историческая справка

Аксиома фундирования указана П. Бернайсом и К. Гёделем в 1941 году и заменила аксиому регулярности, предложенную Дж. фон Нейманом в 1925 году.

См. также

• Аксиоматика теории множеств

Литература

• Кусраев А. Г. Булевы алгебры и булевозначные модели // Соросовский журнал. — 1997.

Ссылки

• Ященко И. В. Парадоксы теории множеств