Аксиомы Пеано

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Аксиомы Пеано — одна из систем аксиом для натуральных чисел.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел.

Содержание 1 О неполноте 2 Формулировки 2.1 Словесная 2.2 Математическая 2.3 Дословный текст 3 Формализация арифметики 4 История 5 Литература

[править] О неполноте

Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например, Теорема Гудстейна (англ.).

[править] Формулировки

[править] Словесная

1. 1 является натуральным числом;
2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным;
3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

[править] Математическая

Введём функцию S(x), которая сопоставляет числу x следующее за ним число.

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

[править] Дословный текст

Текст аксиом Пеано, как он приведен в оригинальном издании Пеано.

1. «1 есть натуральное число»;
2. «следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
3. «1 не следует ни за каким натуральным числом»;
4. «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;
5. Аксиома полной индукции.

[править] Формализация арифметики

Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит число 0 и операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

1. x + 0 = x
2. x₁ + S(x₂) = S(x₁ + x₂)
3. 
4. 

[править] История

Формальное определение натуральных чисел в XIX веке сформулировал итальянский математик Пеано. Аксиомы Пеано основывались на более ранних построениях Грассмана.

[править] Литература

• Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita. Bocca, Torino, 1889.
• Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. М.:Учпедгиз, 1938 (содержание и djvu-файл с полным текстом).

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.