Аксиомы Пеано

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в XIX веке итальянским математиком Джузеппе Пеано.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику, доказать многие свойства натуральных и целых чисел, а также использовать целые числа для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел. В сокращённом виде аксиомы Пеано использовались в ряде метаматематических разработок, включая решение фундаментальных вопросов о непротиворечивости и полноте теории чисел.

Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующие четыре — общие утверждения о равенстве, отражающие внутреннюю логику аксиоматики и исключённые из современного состава аксиом, как очевидные. Следующие три — аксиомы на языке логики первого порядка о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования. Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка — о принципе математической индукции над рядом натуральных чисел. Арифметика Пеано — система, получаемая заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.

О неполноте[править | править вики-текст]

Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например теорема Гудстейна.

Формулировки[править | править вики-текст]

Словесная[править | править вики-текст]

  1. 1 является натуральным числом;
  2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
  3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
  4. Если натуральное число \,\! a непосредственно следует как за числом \,\! b, так и за числом \,\! c, то \,\! b и \,\! c тождественны;
  5. (Аксиома индукции.) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа \,\! n, вытекает, что оно верно для следующего за \,\! n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Математическая[править | править вики-текст]

Введём функцию \,\! S(x), которая сопоставляет числу \,\! x следующее за ним число.

  1. 1\in\mathbb{N};
  2. x\in\mathbb{N}\Rightarrow S(x)\in\mathbb{N};
  3. \nexists x\in\mathbb{N}\colon(S(x)=1);
  4. (S(b)=a\wedge S(c)=a)\Rightarrow b=c;
  5. P(1)\wedge\forall n(P(n)\Rightarrow P(S(n)))\Rightarrow\forall n\in\N(P(n)).

Возможна и иная форма записи:

  1. 1\in\mathbb{N};
  2. S\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}\setminus\{1\};
  3. \exist S^{-1};
  4. 1\in M\land\forall n\in \mathbb{N}(n\in M\Rightarrow S(n)\in M)\Rightarrow \mathbb{N}\subset M.

Последнее утверждение может быть сформулировано так:

Если некоторое высказывание P верно для n=1 (база индукции) и для любого n при допущении, что из верности P(n) следует верность и P(n+1) (индукционное предположение), то P(n) верно для любых натуральных n.

Формализация арифметики[править | править вики-текст]

Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит число 0 и операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

  1. \,\! x+0=x;
  2. \,\! x_1+S(x_2)=S(x_1+x_2);
  3. \,\! x \cdot 0=0;
  4. \,\! x_1 \cdot S(x_2)=x_1 \cdot x_2+x_1.

История[править | править вики-текст]

Необходимость формализации арифметики не принималась всерьёз до появления работы Германа Грассмана, который показал в 1860-х, что многие факты в арифметике могут быть установлены из более элементарных фактов о функции следования и математической индукции. В 1881 году Чарльз Сандерс Пирс опубликовал свою аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Формальное определение натуральных чисел в 1889 году сформулировал итальянский математик Пеано, основываясь на более ранних построениях Грассмана, в своей книге "Основания арифметики, изложенные новым способом" (лат. Arithmetices principia, nova methodo exposita). В 1888 году (за год до Пеано) практически в точности подобную аксиоматическую систему опубликовал Дедекинд[1]. Непротиворечивость арифметики Пеано доказана (англ.) в 1936 году Генценом с помощью трансфинитной индукции до ординала \epsilon_0. Как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Н. Бурбаки Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37. — 292 с. — (Элементы математики).

Литература[править | править вики-текст]