Аксиомы Пеано

Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел.

О неполноте

Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например, теорема Гудстейна.

Формулировки

Словесная

1. 1 является натуральным числом;
2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным;
3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
4. Если натуральное число $\,\! a$ непосредственно следует как за числом $\,\! b$, так и за числом $\,\! c$, то $\,\! b$ и $\,\! c$ тождественны;
5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа $\,\! n$, вытекает, что оно верно для следующего за $\,\! n$ натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Математическая

Введём функцию $\,\! S(x)$, которая сопоставляет числу $\,\! x$ следующее за ним число.

1. $1\in\mathbb{N}$;
2. $x\in\mathbb{N}\rightarrow S(x)\in\mathbb{N}$;
3. $\nexists x\in\mathbb{N}\;(S(x)=1)$;
4. $S(b)=a\rightarrow(S(c)=a\rightarrow b=c)$;
5. $P(1)\wedge(\forall n(P(n)\rightarrow P(S(n)))\rightarrow\forall n\in\N(P(n)))$.

Или так:

1. $1\in\mathbb{N}$;
2. $S:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\setminus\{1\}$;
3. $\exist S^{-1}$;
4. $1\in M\land\forall n\in \mathbb{N}(n\in M\Rightarrow S(n)\in M)\Rightarrow \mathbb{N}\subset M$.

Дословный текст

Текст аксиом Пеано, как он приведен в оригинальном издании Пеано.

1. «1 есть натуральное число»;
2. «следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
3. «1 не следует ни за каким натуральным числом»;
4. «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;
5. Аксиома полной индукции.

Формализация арифметики

Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит число 0 и операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

1. $\,\! x+0=x$
2. $\,\! x_1+S(x_2)=S(x_1+x_2)$
3. $\,\! x \cdot 0=0$
4. $\,\! x_1 \cdot S(x_2)=x_1 \cdot x_2+x_1$

История

Формальное определение натуральных чисел в XIX веке сформулировал итальянский математик Пеано. Аксиомы Пеано основывались на более ранних построениях Грассмана. Непротиворечивость арифметики Пеано доказана (англ.) в 1936 году Генценом с помощью трансфинитной индукции до ординала $\epsilon_0.$ Как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.

Литература

• Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita. Bocca, Torino, 1889.
• Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. М.:Учпедгиз, 1938 (содержание и djvu-файл с полным текстом).