Алгебраически замкнутое поле

Для термина «Замыкание» см. другие значения.

Алгебраически замкнутое поле — поле $\Bbb K$, в котором всякий многочлен ненулевой степени над $\Bbb K$ имеет хотя бы один корень.

Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым.

Свойства

• В алгебраически замкнутом поле $\Bbb K$ каждый многочлен степени n имеет ровно n (с учётом кратности) корней в $\Bbb K$. Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов $\Bbb K[x]$ имеет степень 1. См. также теорема Безу.
• Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен конечной степени, корнями которого являются все элементы поля. Если к нему прибавить 1, то полученный многочлен не будет иметь корней.
• Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.
• Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.
• Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.

См. также

• Теория Галуа
• Замыкание (алгебра)