Алгебраическая кривая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Кубика Чирнгауза — алгебраическая кривая третьего порядка.

Алгебраические кривые — это простейшие объекты в евклидовой геометрии, для определения которых недостаточно линейных уравнений. В частности, в евклидовой геометрии плоская алгебраическая кривая определяется как множество нулей многочлена от двух переменных. Например, единичная окружность — это алгебраическая кривая, так как она задаётся уравнением x2 + y2 − 1 = 0.

По многим техническим причинам удобно также рассматривать комплексные корни соответствующего многочлена, а также обобщить определение на случай произвольного основного поля.

В алгебраической геометрии, плоская аффинная алгебраическая кривая над полем k определяется как множество точек K2, являющихся корнями многочлена от двух переменных с коэффицентами в k, где K — алгебраическое замыкание поля k. Точки этой кривой, все координаты которых лежат в k, называются k-точками. Например, точка (2,\sqrt {-3}) принадлежит рассмотренной выше единичной окружности, однако не принадлежит её действительной части. Многочлен x2 + y2 + 1 задаёт алгебраическую кривую, действительная часть которой пуста.

Более общо, можно рассматривать алгебраические кривые, содержащиеся не в плоскости, а в пространстве с большим числом измерений или в проективном пространстве. Оказывается, что многие свойства алгебраической кривой не зависят от выбора конкретного вложения в некоторое пространство, и это приводит к общему определению алгебраической кривой:

Алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие размерности 1. Это определение можно переформулировать так: алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие, все подмногообразия которого состоят из одной точки.

Рациональные кривые[править | править исходный текст]

Рациональная кривая, также известная как уникурсальная кривая, — это кривая, бирационально эквивалентная аффинной прямой (или проективной прямой[en]), другими словами, кривая, допускающая рациональную параметризацию.

Более конкретно, рациональная кривая в n-мерном пространстве может быть параметризована (за исключением некоторого числа изолированных «особых точек») при помощи n рациональных функций от единственного параметра t.

Любое коническое сечение над полем рациональных чисел, содержащее хотя бы одну рациональную точку, является рациональной кривой.[1] Её можно параметризовать, проведя через рациональную точку прямую с произвольным угловым коэффициентом t и сопоставив данному t вторую точку пересечения прямой и коники (их не может быть больше двух).

x2 + xy + y2 = 1

Например, рассмотрим эллипс x2 + xy + y2 = 1 с рациональной точкой (−1, 0). Проведя через неё прямую y = t(x+1), подставив выражение y через x в уравнение и решив относительно x, получим уравнения

x = \frac{1-t^2}{1+t+t^2},
y=t(x+1)=\frac{t(t+2)}{1+t+t^2}\,,

задающие рациональную параметризацию эллипса. В таком виде представимы все точки эллипса кроме точки (-1,0), можно сопоставить ей t = ∞, то есть параметризовать эллипс проективной прямой.

Эту рациональную параметризацию можно рассматривать как параметризацию «эллипса в проективном пространстве», перейдя к однородным координатам, то есть заменив t на T/U, x,y — на X/Z,Y/Z соответственно. Параметризация эллипса X^2+X\,Y+Y^2=Z^2 проективной прямой примет следующий вид:

X=U^2-T^2,\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^2+TU+U^2.

Эллиптические кривые[править | править исходный текст]

Рациональные кривые (над алгебраически замкнутым полем) — это в точности алгебраические кривые рода 0 (см. ниже), в этой терминологии эллиптические кривые — это кривые рода 1 с рациональной точкой. Основной пример такой кривой — кубика без особенностей; такой кубики достаточно, чтобы промоделировать любую кривую рода 1.

Эллиптическая кривая несёт на себе структуру абелевой группы. Сумма трёх точек на кубике равна нулю тогда и только тогда, когда эти точки коллинеарны.

Пересечение двух коник является кривой четвёртого порядка рода 1, а значит, эллиптической кривой, если содержит хотя бы одну рациональную точку. В противном случае пересечение может быть рациональной кривой четвёртого порядка с особеннностями, или быть разложимым на кривые меньшего порядка (кубика и прямая, две коники, коника и две прямые или четыре прямые).

Связь с полями функций[править | править исходный текст]

Изучение алгебраических кривых может быть сведено к изучению неприводимых кривых (то есть не раскладывающихся в объединение двух меньших кривых). Каждой такой кривой можно сопоставить поле рациональных функций на ней; оказывается, что кривые бирационально эквивалентны тогда и только тогда, когда их поля функций изоморфны. Это значит, что категория алгебраических кривых и рациональных отображений двойственна категории одномерных полей алгебраических функций, то есть полей, являющихся алгебраическими расширениями поля k(x).

Комплексные кривые как действительные поверхности[править | править исходный текст]

Комплексная алгебраическая кривая, вложенная в аффинное или проективное пространство, имеет топологическую размерность 2, другими словами, является поверхностью. В частности, комплексная алгебраическая кривая без особенностей является двумерным ориентируемым многообразием.

Топологический род этой поверхности совпадает с родом алгебраической кривой (который можно вычислить алгебраическими способами). Очень кратко: если проекция кривой без особенностей на плоскость является алгебраической кривой степени d с обычными особенностями (точки двойного самопересечения, с касательными пространствами у каждой из компонент), то исходная кривая имеет степень (d − 1)(d − 2)/2 − k, где k — число этих особенностей.

Изучение компактных римановых поверностей состоит фактически в изучении комплексных алгебраических кривых без особенностей, рассматриваемых как поверхности с дополнительной аналитической структурой. Более точно, следующие категории эквивалентны:

Классификация особенностей[править | править исходный текст]

x3 = y2

Особые точки включают в себя несколько типов точек, в которых кривая «пересекает сама себя», а также различные типы каспов. Например, на рисунке показана кривая x3y2 = 0 с каспом в начале координат.

Особые точки можно классифицировать по их инвариантам. Например, особую точку с дельта-инвариантом δ можно интуитивно описать как точку, в которой встречаются сразу δ «самопересечений». В случае точки P на неприводимой кривой δ можно вычислить как длину модуля \widetilde{\mathcal{O}_P} / \mathcal{O}_P, где \mathcal{O}_P — локальное кольцо в точке P и \widetilde{\mathcal{O}_P} — его целое замыкание. Вычисление дельта-инвариантов всех особых точек позволяет вычислить род кривой по формуле:

g = \frac{1}{2}(d-1)(d-2) - \sum_P \delta_P,

Другие важные инварианты: кратность m особенности (максимальное целое число, такое что все производные многочлена f порядка, не превосходящего m, равны нулю) и число Милнора[en].

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Ю. И. Манин. Рациональные точки на алгебраических кривых. — Успехи математических наук, т. XIX, вып. 6 (120), 1964.
  • Egbert Brieskorn, Horst Knörrer, Plane Algebraic Curves — Birkhäuser, 1986
  • Hershel M. Farkas, Irwin Kra, Riemann Surfaces — Springer, 1980
  • W. Fulton, Algebraic Curves: an introduction to algebraic geometry
  • C.G. Gibson, Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction — Cambridge University Press, 1998.
  • John Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces — Princeton University Press, 1968
  • Jean-Pierre Serre, Algebraic Groups and Class Fields — Springer, 1988