Алгебраическая независимость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебраическая независимость — понятие теории расширений полей.

Пусть L некоторое расширение поля K. Элементы (\alpha_1, \ldots ,\alpha_n) называются алгебраически независимыми, если для произвольного не равного тождественно нулю многочлена P(x_1, \ldots ,x_n) с коэффициентами из поля K

P(\alpha_1, \dots ,\alpha_n) \ne 0.

В другом случае элементы (\alpha_1, \ldots ,\alpha_n) называются алгебраически зависимыми. Бесконечное множество элементов называется алгебраически независимым, если независимым является каждое его конечное подмножество, и называется зависимым в противном случае. Определение алгебраической независимости можно распространить на случай, когда Lкольцо и K — его подкольцо.

Пример[править | править вики-текст]

Подмножество \{ \sqrt {\pi};2\pi +1 \} поля вещественных чисел \R не является алгебраически независимым над полем \Q, поскольку многочлен P(x_1,x_2)=2x^2_1-x_2+1 является нетривиальным с рациональными коэффициентами и P(\sqrt {\pi},2\pi +1)=0.

Ссылки[править | править вики-текст]