Алгебраическая система

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебраическая система (или алгебраическая структура) в универсальной алгебре — множество G (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.

n-арная операция на G — это отображение прямого произведения n экземпляров множества в само множество G^n \to G. По определению, 0-арная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать. Но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Для алгебраических систем естественным образом определяются морфизмы как отображения, сохраняющие операцию. Таким образом определяются категории групп, колец, R-модулей и т. п.

Если множество обладает структурой топологического пространства, и операции являются непрерывными, то его называют топологической алгебраической системой. Так, в топологической группе операции умножения и взятия обратного элемента являются непрерывными.

Не все алгебраические конструкции описываются алгебраическими системами, в качестве примера таковых можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними.

Основные классы алгебраических систем[править | править вики-текст]

  • Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений[1].

Группоиды, полугруппы, группы[править | править вики-текст]

  • Группоид — множество с одной бинарной операцией \cdot: G\times G \to G, обычно называемой умножением.
  • Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение x \cdot a = b имеет единственное решение для любых a и b.
  • Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппы.
  • Лупа — квазигруппа с единичным элементом e\in G, таким, что a\cdot e = e \cdot a = a.
  • Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c.
  • Моноид — полугруппа с единичным элементом.
  • Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a−1, такой, что a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e.
  • Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, a\cdot b = b \cdot a. Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

Кольца[править | править вики-текст]

  • Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
  • Почти-кольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)
  • Кольцо — структура с двумя бинарными операциями: абелева группа по сложению, моноид по умножению, выполняется закон дистрибутивности:  a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c.
  • Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
  • Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.
  • Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
  • Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.

Алгебры[править | править вики-текст]

Решётки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Наука, 1974. С.15

Литература[править | править вики-текст]

  • П. Кон «Универсальная алгебра», — М.: Мир, 1969, 351 с
  • А. И. Мальцев «Алгебраические системы», — М., Наука, 1970 г., 392 стр. с илл.
  • «Общая алгебра, в 2-х томах (Серия: Справочная математическая библиотека)», В. А. Артамонов и др., под редакцией Л. А. Скорнякова, — М.: Наука, Физматлит, 1990—1991, 592 с + 480 с.