Алгебраическая система

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

(Перенаправлено с Алгебраическая структура)

Алгебраическая система или алгебраическая структура — множество $G$ (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Понятие алгебраической системы родственно понятию универсальной алгебры.

n-арная операция на G — это отображение прямого произведения n экземпляров множества в само множество $G^n \to G$ . По определению, 0-арная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать. Но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Для алгебраических систем естественным образом определяются морфизмы как отображения, сохраняющие операцию. Таким образом определяются категории групп, колец, R-модулей и т. п.

Если множество обладает структурой топологического пространства, и операции являются непрерывными, то называют топологической алгебраической системой. Так, в топологической группе операции умножения и взятия обратного элемента являются непрерывными.

Не все алгебраические конструкции описываются алгебраическими системами, в качестве примера иных можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними.

[править] Список алгебраических систем

Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций.

[править] Группоиды, полугруппы, группы

Группоид — множество с одной бинарной операцией $\cdot: G\times G \to G$ , обычно называемой умножением.
Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение $x \cdot a = b$ имеет единственное решение для любых $a$ и $b$ .
Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппы.
Лупа — квазигруппа с единичным элементом $e\in G$ , таким, что $a\cdot e = e \cdot a = a$ .
Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ .
Моноид — полугруппа с единичным элементом.
Группа — моноид с делением. Для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a^-1, такой, что $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$ .
Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, $a\cdot b = b \cdot a$ . Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

[править] Кольца

Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
Кольцо — структура с двумя бинарными операциями: абелева группа по сложению, моноид по умножению, выполняется закон дистрибутивности: $a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$ .
Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.
Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.

[править] Модули

Модуль над кольцом $R$ — абелева группа по сложению, с дистрибутивной унарной операцией умножения на константу для каждого элемента кольца.
Векторное пространство — модуль над полем.

[править] Алгебры

Алгебра (линейная) — пространство с билинейной дистрибутивной операцией умножения, иначе говоря, кольцо с согласованной структурой пространства
Ассоциативная алгебра — алгебра с ассоциативным умножением
Алгебра термов
Коммутативная алгебра
Градуированная алгебра
Алгебра Ли — алгебра с антикоммутативным умножением (обычно обозначаемым $[a,b]\!$ ), удовлетворяющим тождеству Якоби $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0\!$
Алгебра Йордана — коммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: $x^2(yx)=(x^2y)x\!$
Альтернативная алгебра — алгебра с тождествами $x^2y=x(xy), \quad yx^2=(yx)x\!$
Алгебра Мальцева — антикоммутативная алгебра с тождеством

$(xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x\!$

Алгебра над операдой — один из наиболее общих видов алгебраических систем. Здесь сама операда играет роль сигнатуры алгебры.

[править] Решётки

Решётка — структура с двумя коммутативными, ассоциативными, идемпотентными операциями, удовлетворяющими закону поглощения.
Булева алгебра.

[править] Литература

П. Кон «Универсальная алгебра», — М.: Мир, 1969, 351 с
«Общая алгебра, в 2-х томах (Серия: Справочная математическая библиотека)», В. А. Артамонов и др., под редакцией Л. А. Скорнякова, — М.: Наука, Физматлит, 1990—1991, 592 с + 480 с.

Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0»