Алгебраическая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебраическая функция — элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Формальное определение:

Функция \,\!F(x_1, x_2, \ldots, x_n) называется алгебраической в точке \,\!A=(a_1, a_2, \ldots, a_n), если существует окрестность точки \,\!A, в которой верно тождество

\,\!P( F(x_1, x_2, \ldots, x_n), x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0.

где \,\!P есть многочлен от n+1 переменной.

Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.

Например, функция действительного переменного F(x) = \sqrt{1-x^2} является алгебраической на интервале (-1,1) в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению

\,\!F^2 + x^2 = 1.

Существует аналитическое продолжение функции F(x) = \sqrt{1-x^2} на комплексную плоскость, с вырезанным отрезком [-1, 1] или с двумя вырезанными лучами (-\infty, -1] и [1,\infty). В этой области полученная функция комплексного переменного является алгебраической и аналитической.

Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

Частные случаи[править | править вики-текст]

Частными случаями алгебраических функций являются:

Алгебраические и трансцендентные числа[править | править вики-текст]

Действительные числа, которые являются корнем какого-то алгебраического уравнения, называются алгебраическими. Действительные числа, которые не являются корнем никакого алгебраического уравнения, называются трансцендентными.

Все рациональные числа являются алгебраическими. Среди иррациональных чисел есть как алгебраические, так и трансцендентные. Например, \sqrt{2} — алгебраическое иррациональное число, а \,\!\pi — трансцендентное иррациональное число.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.-Л.: ГОСТЕХТЕОРИЗДАТ, 1941. — 400 с.