Алгебраическая функция

Алгебраическая функция — элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Формальное определение:

Функция $\,\!F(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ называется алгебраической в точке $\,\!A=(a_1, a_2, \ldots, a_n)$, если существует окрестность точки $\,\!A$, в которой верно тождество

$\,\!P( F(x_1, x_2, \ldots, x_n), x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0.$

где $\,\!P$ есть многочлен от $n+1$ переменной.

Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.

Например, функция действительного переменного $F(x) = \sqrt{1-x^2}$ является алгебраической на интервале $(-1,1)$ в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению

$\,\!F^2 + x^2 = 1.$

Существует аналитическое продолжение функции $F(x) = \sqrt{1-x^2}$ на комплексную плоскость, с вырезанным отрезком $[-1, 1]$ или с двумя вырезанными лучами $(-\infty, -1]$ и $[1,\infty)$. В этой области полученная функция комплексного переменного является алгебраической и аналитической.

Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

Частные случаи

Частными случаями алгебраических функций являются:

• степенная функция;
• рациональная функция;

Алгебраические и трансцендентные числа

Действительные числа, которые являются корнем какого-то алгебраического уравнения, называются алгебраическими. Действительные числа, которые не являются корнем никакого алгебраического уравнения, называются трансцендентными.

Все рациональные числа являются алгебраическими. Среди иррациональных чисел есть как алгебраические, так и трансцендентные. Например, $\sqrt{2}$ — алгебраическое иррациональное число, а $\,\!\pi$ — трансцендентное иррациональное число.

См. также

• Аналитическая функция
• Трансцендентная функция