Алгебраическое число

Алгебраи́ческое число́ над полем $k$ — элемент алгебраического замыкания поля $k$, то есть корень многочлена (не равного тождественно нулю) с коэффициентами из $k$.

Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть $k=\mathbb{Q}$, в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается $\mathbb{A}$. Поле $\mathbb{A}$ является подполем поля комплексных чисел.

Эта статья посвящена именно этим «рациональным алгебраическим числам».

Связанные определения

• Комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
• Целыми алгебраическими числами называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом единица.
• Если $\alpha$ — алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих $\alpha$ своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным $1$. Такой многочлен автоматически является неприводимым, он называется каноническим, или минимальным, многочленом алгебраического числа $\alpha$. (Иногда каноническим называют многочлен, получающийся из минимального домножением на наименьший общий знаменатель его коэффициентов, то есть многочлен с целыми коэффициентами)
  • Степень канонического многочлена $\alpha$ называется степенью алгебраического числа $\alpha$.
  • Другие корни канонического многочлена $\alpha$ называются сопряжёнными к $\alpha$.
  • Высотой алгебраического числа $\alpha$ называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, имеющем $\alpha$ своим корнем.

Примеры

• Рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами 1-й степени.
• Мнимая единица i и $\sqrt2$ являются алгебраическими числами 2-й степени. Сопряжёнными к ним являются соответственно -i и $-\sqrt2$.
• При любом натуральном числе n число $\sqrt[n]2$ является алгебраическим степени n.

Свойства

• Множество алгебраических чисел счётно, а следовательно, имеет меру нуль.
• Множество алгебраических чисел плотно в комплексной плоскости.
• Сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел (кроме деления на нуль) суть алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образует поле.
• Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.
• Для всякого алгебраического числа $\alpha$ существует такое натуральное $N$, что $N\alpha$ — целое алгебраическое число.
• Алгебраическое число $\alpha$ степени $n$ имеет $n$ различных сопряжённых чисел (включая себя).
• $\alpha$ и $\beta$ сопряжены тогда и только тогда, когда существует автоморфизм поля $\mathbb{A}$, переводящий $\alpha$ в $\beta$.
• Любое алгебраическое число вычислимо, а следовательно, арифметично.
• Порядок на множестве действительных алгебраических чисел изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.

История

Впервые алгебраические поля стал рассматривать Гаусс. При обосновании теории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовых чисел, то есть чисел вида $a + bi$, где $a$ и $b$ — целые числа. Далее, изучая теорию кубических вычетов, Якоби и Эйзенштейн создали арифметику чисел вида $a + b\rho$, где $\rho = (-1+i\sqrt3)/2$ — кубический корень из единицы, а $a$ и $b$ — целые числа. В 1844 году Лиувилль доказал теорему о невозможности слишком хорошего приближения корней многочленов с рациональными коэффициентами рациональными дробями, и, как следствие, ввёл формальные понятия алгебраических и трансцендентных (то есть всех прочих вещественных) чисел. Попытки доказать великую теорему Ферма привели Куммера к изучению полей деления круга, введению понятия идеала и созданию элементов теории алгебраических чисел. В работах Дирихле, Кронекера, Гильберта и других теория алгебраических чисел получила свое дальнейшее развитие. Большой вклад в неё внесли русские математики Золотарев (теория идеалов), Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), Марков (кубическое поле), Сохоцкий (теория идеалов) и другие.

См. также

• Кольцо периодов

Ссылки

• Фельдман, Н. Алгебраические и трансцендентные числа // Квант, № 7, 1983.
• Нестеренко Ю. В. Лекции об алгебраических числах // Конспект курса лекций, читаемых на мехмате МГУ.