Алгебраически замкнутое поле
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Алгебраически замкнутое поле — поле k, в котором всякий многочлен ненулевой степени над k имеет хотя бы один корень.
[править] Связанные определения
- Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма алгебраическое расширение поля, то есть расширение поля, являющееся алгебраически замкнутым; оно называется алгебраическим замыканием поля.
[править] Свойства
- В алгебраически замкнутом поле k, каждый многочлен степени n имеет ровно n корней в k. Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов k[х] имеет степень 1. См. также теорема Безу.
- Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми (кроме тривиального поля, в котором 0=1). Действительно, можно рассмотреть многочлен конечной степени, корнями которого являются все элементы поля. Если к нему прибавить 1, то полученный многочлен не будет иметь корней.
- Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.
- Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.
[править] См. также
 |
Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
