Алгебраическое уравнение

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — это уравнение вида

$P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = Q(x_1, x_2, \ldots, x_n),$

или, в приведённой форме:

$P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0,$

где $P$ и $Q$ являются многочленами от $n$ переменных — $x_1, \ldots, x_n$ , которые называются неизвестными.

Например:

$y^4 + \frac{xy}{2} + y^2z^5 + \frac{x^3}{3} - xy^2 + y^2 - \frac{1}{7} = 0$

является алгебраическим уравнением от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

[править] Связанные определения

Степенью алгебраического уравнения называют максимальную степень его многочленов.

Значения переменных $x_1, \ldots, x_n$ , которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество называются корнями алгебраического уравнения.

[править] Особые случаи линейных уравнений

Алгебраическое уравнение с одним неизвестым — уравнение вида: $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_n = 0,$ где $n$ — целое неотрицательное число, $a_0, a_1, \ldots, a_n$ — коэффициенты уравнения, являются данными, а $x$ — искомое неизвестное.
Линейное уравнение
- от одной переменной: $ax + b = 0, \quad a \ne 0.$
- от нескольких переменных: $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + b = 0.$
Квадратное уравнение
- от одной переменной: $ax^2 + bx + c = 0, \quad a \ne 0.$
Кубическое уравнение
- от одной переменной: $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \quad a \ne 0.$
Уравнение четвёртой степени
- от одной переменной: $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0, \quad a \neq 0.$
Уравнение пятой степени
- от одной переменной: $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f = 0, \quad a \neq 0.$
Уравнение шестой степени
- от одной переменной: $ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx + g = 0, \quad a \neq 0.$
Возвратное уравнение — алгебраические уравнения вида: $a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... +a_{1}x + a_0 = 0,$ коэффициенты которых, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны, то есть если $a_{n - k} = a_k,$ , при $k = 0, 1, \ldots, n$ .