Алгебраическое число

Алгебраи́ческое число́ над полем $k$ — элемент алгебраического замыкания поля $k$ , то есть корень многочлена (не равного тождественно нулю) с коэффициентами из $k$ .

Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть $k=\mathbb{Q}$ , в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается $\mathbb{A}$ . Поле $\mathbb{A}$ является подполем поля комплексных чисел.

Эта статья посвящена именно этим «рациональным алгебраическим числам».

Связанные определения [править]

Комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
Целыми алгебраическими числами называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом единица.
Если — алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным . Такой многочлен автоматически является неприводимым, он называется каноническим, или минимальным, многочленом алгебраического числа . (Иногда каноническим называют многочлен, получающийся из минимального домножением на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов, то есть многочлен с целыми коэффициентами)
- Степень канонического многочлена $\alpha$ называется степенью алгебраического числа $\alpha$ .
- Другие корни канонического многочлена $\alpha$ называются сопряжёнными к $\alpha$ .
- Высотой алгебраического числа $\alpha$ называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, имеющем $\alpha$ своим корнем.

Примеры [править]

Рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами 1-й степени.
Мнимая единица i и $\sqrt2$ являются алгебраическими числами 2-й степени. Сопряжёнными к ним являются соответственно -i и $-\sqrt2$ .
При любом натуральном числе n число $\sqrt[n]2$ является алгебраическим степени n.

Свойства [править]

Множество алгебраических чисел счётно, а следовательно, имеет меру нуль.
Множество алгебраических чисел плотно в комплексной плоскости.
Сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел (кроме деления на нуль) суть алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образует поле.
Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.
Для всякого алгебраического числа $\alpha$ существует такое натуральное $N$ , что $N\alpha$ — целое алгебраическое число.
Алгебраическое число $\alpha$ степени $n$ имеет $n$ различных сопряжённых чисел (включая себя).
$\alpha$ и $\beta$ сопряжены тогда и только тогда, когда существует автоморфизм поля $\mathbb{A}$ , переводящий $\alpha$ в $\beta$ .
Любое алгебраическое число вычислимо, а следовательно, арифметично.
Порядок на множестве действительных алгебраических чисел изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.

История [править]

Впервые алгебраические поля стал рассматривать Гаусс. При обосновании теории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовых чисел, то есть чисел вида $a + bi$ , где $a$ и $b$ — целые числа. Далее, изучая теорию кубических вычетов, Якоби и Эйзенштейн создали арифметику чисел вида $a + b\rho$ , где $\rho = (-1+i\sqrt3)/2$ — кубический корень из единицы, а $a$ и $b$ — целые числа. В 1844 году Лиувилль доказал теорему о невозможности слишком хорошего приближения корней многочленов с рациональными коэффициентами рациональными дробями, и, как следствие, ввёл формальные понятия алгебраических и трансцендентных (то есть всех прочих вещественных) чисел. Попытки доказать великую теорему Ферма привели Куммера к изучению полей деления круга, введению понятия идеала и созданию элементов теории алгебраических чисел. В работах Дирихле, Кронекера, Гильберта и других теория алгебраических чисел получила свое дальнейшее развитие. Большой вклад в неё внесли русские математики Золотарев (теория идеалов), Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), Марков (кубическое поле), Сохоцкий (теория идеалов) и другие.