Алгебраическое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебраи́ческое число́ над полем k — элемент алгебраического замыкания поля k, то есть корень многочлена (не равного тождественно нулю) с коэффициентами из k.

Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть k=\mathbb{Q}, в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается \mathbb{A}. Поле \mathbb{A} является подполем поля комплексных чисел.

Эта статья посвящена именно этим «рациональным алгебраическим числам».

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
  • Целыми алгебраическими числами называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом единица.
  • Если \alpha — алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих \alpha своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным 1. Такой многочлен автоматически является неприводимым, он называется каноническим, или минимальным, многочленом алгебраического числа \alpha. (Иногда каноническим называют многочлен, получающийся из минимального домножением на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов, то есть многочлен с целыми коэффициентами)
    • Степень канонического многочлена \alpha называется степенью алгебраического числа \alpha.
    • Другие корни канонического многочлена \alpha называются сопряжёнными к \alpha.
    • Высотой алгебраического числа \alpha называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, имеющем \alpha своим корнем.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами 1-й степени.
  • Мнимая единица i и \sqrt2 являются алгебраическими числами 2-й степени. Сопряжёнными к ним являются соответственно -i и -\sqrt2.
  • При любом натуральном числе n число \sqrt[n]2 является алгебраическим степени n.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Множество алгебраических чисел счётно, а следовательно, имеет меру нуль.
  • Множество алгебраических чисел плотно в комплексной плоскости.
  • Сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел (кроме деления на нуль) суть алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образует поле.
  • Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.
  • Для всякого алгебраического числа \alpha существует такое натуральное N, что N\alpha — целое алгебраическое число.
  • Алгебраическое число \alpha степени n имеет n различных сопряжённых чисел (включая себя).
  • \alpha и \beta сопряжены тогда и только тогда, когда существует автоморфизм поля \mathbb{A}, переводящий \alpha в \beta.
  • Любое алгебраическое число вычислимо, а следовательно, арифметично.
  • Порядок на множестве действительных алгебраических чисел изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.

История[править | править исходный текст]

Впервые алгебраические поля стал рассматривать Гаусс. При обосновании теории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовых чисел, то есть чисел вида a + bi, где a и b — целые числа. Далее, изучая теорию кубических вычетов, Якоби и Эйзенштейн создали арифметику чисел вида a + b\rho, где \rho = (-1+i\sqrt3)/2 — кубический корень из единицы, а a и b — целые числа. В 1844 году Лиувилль доказал теорему о невозможности слишком хорошего приближения корней многочленов с рациональными коэффициентами рациональными дробями, и, как следствие, ввёл формальные понятия алгебраических и трансцендентных (то есть всех прочих вещественных) чисел. Попытки доказать великую теорему Ферма привели Куммера к изучению полей деления круга, введению понятия идеала и созданию элементов теории алгебраических чисел. В работах Дирихле, Кронекера, Гильберта и других теория алгебраических чисел получила свое дальнейшее развитие. Большой вклад в неё внесли русские математики Золотарев (теория идеалов), Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), Марков (кубическое поле), Сохоцкий (теория идеалов) и другие.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]