Алгебраическое числовое поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебраическое числовое поле (или просто числовое поле) — это конечное (а следовательно — алгебраическое) расширение поля рациональных чисел \mathbb Q. Таким образом, числовое поле — это поле, содержащее \mathbb Q и являющееся конечномерным векторным пространством над ним.

Числовые поля и, более общо, алгебраические расширения поля рациональных чисел являются основным объектом изучения алгебраической теории чисел.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Наименьшее и базовое числовое поле — поле рациональных чисел \mathbb Q.
  • Гауссовы рациональные числа, обозначаемые \mathbb Q(i) — первый нетривиальный пример числового поля. Его элементы — выражения вида
a+bi
где a и b рациональные числа, i — мнимая единица. Такие выражения можно складывать и перемножать по обычным правилам действий с комплексными числами, и у каждого ненулевого элемента существует обратный, как это видно из равенства
(a+bi)\left(\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\right)=\frac{(a+bi)(a-bi)}{a^2+b^2}=1.
Из этого следует, что рациональные гауссовы числа образуют поле, являющееся двумерным пространством над \mathbb Q (то есть квадратичным полем).

Кольцо целых числового поля[править | править вики-текст]

Поскольку числовое поле является алгебраическим расширением поля \mathbb Q, любой его элемент является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами (то есть является алгебраическим). Более того, каждый элемент является корнем многочлена с целыми коэффициентами, так как можно домножить все рациональные коэффициенты на произведение знаменателей. Если же данный элемент является корнем некоторого приведенного многочлена с целыми коэффициентами, он называется целым элементом (или алгебраическим целым числом). Не все элементы числового поля целые: например, легко показать что единственные целые элементы \mathbb Q — это обычные целые числа.

Можно доказать, что сумма и произведение двух алгебраических целых чисел — снова алгебраическое целое число, поэтому целые элементы образуют подкольцо числового поля K, называемое кольцом целых поля K и обозначаемое \mathcal O_K. Поле не содержит делителей нуля и это свойство наследуется при переходе к подкольцу, поэтому кольцо целых целостно; поле частных кольца \mathcal O_K — это само поле K. Кольцо целых любого числового поля оладает следующими тремя свойствами: оно целозамкнуто, нётерово и одномерно. Коммутативное кольцо с такими свойствами называется дедекиндовым в честь Рихарда Дедекинда.

Разложение на простые и группа классов[править | править вики-текст]

В произвольном дедекиндовом кольце существует и единственно разложение ненулевых идеалов в произведение простых. Однако не любое кольцо целых удовлетворяет свойству факториальности: уже для кольца целых квадратичного поля \mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt {-5})} = \mathbb Z[\sqrt {-5}] разложение не единственно:

6 = 2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})

Введя на этом кольце норму, можно показать, что эти разложения действительно различны, то есть одно нельзя получить из другого умножением на обратимый элемент.

Степень нарушения свойства факториальности измеряют при помощи группы классов идеалов, эта группа для кольца целых всегда конечна и её порядок называют числом классов.

Базисы числового поля[править | править вики-текст]

Целый базис[править | править вики-текст]

Целый базис числового поля F степени n — это множество

B = {b1, …, bn}

из n элементов кольца целых поля F, такое что любой элемент кольца целых OF поля F можно единственным способом записать как Z-линейную комбинацию элементов B; то есть для любого x из OF существует и единственно разложение

x = m1b1 + … + mnbn,

где mi — обычные целые числа. В этом случае любой элемент F можно записать как

m1b1 + … + mnbn,

где mi — рациональные числа. После это целые элементы F выделяются тем свойством, что это в точности те элементы, для которых все mi целые.

Используя такие иструменты как локализация и эндоморфизм Фробениуса, можно построить такой базис для любого числового поля. Его построение является встроенной функцией во многих системах компьютерной алгебры.

Степенной базис[править | править вики-текст]

Пусть F — числовое поле степени n. Среди всех возможных базисов F (как Q-векторного пространства), существуют степенные базисы, то есть базисы вида

Bx = {1, x, x2, …, xn−1}

для некоторого xF. Согласно теореме о примитивном элементе, такой x всегда существует, его называют примитивным элементом данного расширения.

Норма и след[править | править вики-текст]

Алгебраическое числовое поле является конечномерным векторным пространством над \mathbb Q (обозначим его размерность за n), и умножение на произвольный элемент поля является линейным преобразованием этого пространства. Пусть e_1,e_2,\ldots e_n — какой-нибудь базис F, тогда преобразованию x\mapsto \alpha x соответствует матрица A=(a_{ij}), определяемая условием

\alpha e_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} e_j, \quad a_{ij}\in\mathbf{Q}.

Элементы этой матрицы зависят от выбора базиса, однако от него не зависят все инварианты матрицы, такие как определитель и след. В контексте алгебраических расширений, определитель матрицы умножения на элемент называется нормой этого элемента (обозначается N(x)); след матрицы — следом элемента (обозначается \text{Tr}(x)).

След элемента является линейным функционалом на F:

\text{Tr}(x+y)=\text{Tr}(x)+\text{Tr}(y) и \text{Tr}(\lambda x)=\lambda \text{Tr}(x), \lambda\in \mathbb Q.

Норма является мультипликативной и однородной функцией:

N(xy)=N(x)\cdot N(y) и N(\lambda x)=\lambda^nN(x),\lambda\in\mathbb Q.

В качестве исходного базиса можно выбрать целый базис[⇨], умножению на целое алгебраическое число (то есть на элемент кольца целых[⇨]) в этом базисе будет соответствовать матрица с целыми элементами. Следовательно, след и норма любого элемента кольца целых являются целыми числами.

Пример использования нормы[править | править вики-текст]

Пусть d — натуральное число, свободное от квадратов, тогда \mathbb Q(\sqrt d) — квадратичное поле (в частности, являющееся числовым полем). Выберем в этом поле целый базис (1,\sqrt d) (\sqrt d — целый элемент, так как он является корнем приведенного многочлена x^2-d). В этом базисе умножению на a+b\sqrt d соответствует матрица

\begin{pmatrix}a & db \\b & a \end{pmatrix}

Следовательно, N(a+b\sqrt d)=a^2-db^2. На элементах кольца \mathbb Z[\sqrt d] эта норма принимает целые значения. Норма является гомоморфизмом мультипликативной группы \mathbb Z[\sqrt d] на мультипликативную группу \mathbb Z, поэтому норма обратимых элементов кольца может быть равна только 1 или -1. Для того, чтобы решить уравнение Пелля a^2-db^2=1, достаточно найти все обратимые элементы кольца целых (также называемые единицами кольца) и выделить среди них имеющие норму 1. Согласно теореме Дирихле о единицах, все обратимые элементы данного кольца являются степенями одного элемента (с точностью до умножения на -1), поэтому для нахождения всех решений уравнения Пелля достаточно найти одно фундаментальное решение.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Х. Кох. Алгебраическая теория чисел. — М.: ВИНИТИ, 1990. — Т. 62. — 301 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
  • Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа. Часть 2. — М.: Едиториал УРСС, 2004.
  • Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. Пер. с англ.. — М.: Едиториал УРСС, 2011.
  • Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000