Алгебра Клиффорда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра с единицей  Cl(E, Q(,)) над некоторым коммутативным кольцом K  (Е — векторное пространство, в дальнейшем обобщении — свободный K-модуль) с некоторой операцией [«умножения»], совпадающей с заданной на E билинейной формой Q.

Смысл конструкции состоит в ассоциативном расширении пространства EK и операции умножения на нём так, чтобы квадрат последней совпал с заданной квадратичной формой Q. Впервые рассмотрена Клиффордом. Алгебры Клиффорда обобщают комплексные числа, паракомплексные числа и дуальные числа, также бикомплексные числа, кватернионы и т.п.: их семейство исчерпывающе охватывает все ассоциативные гиперкомплексные числа.

Формальное определение[править | править исходный текст]

Пусть K  — коммутативное кольцо с единицей,  E — свободный K-модуль, Q — квадратичная форма на  E. Алгеброй Клиффорда квадратичной формы Q (или пары (E, Q)) называется факторалгебра Cl(E, Q) тензорной алгебры T(E), K-модуля E по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида

x \otimes x - Q(x,x)1,~~x\in E

Элементы (векторы) из E, являясь тензорами ранга 1, рассматриваются также и как элементы Cl(Q), причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей:

E \hookrightarrow Cl(Q).

Комментарий[править | править исходный текст]

Если K есть поля вещественных либо комплексных чисел, тогда Eлинейное пространство, а в качестве Q(,) используется присущее такому пространству скалярное произведение.

Примеры вещественных и комплексных алгебр[править | править исходный текст]

Свойства[править | править исходный текст]

антикоммутатор  [x, y]_+ \  ( := x*y + y*x) = 2 \left\langle x,y\right\rangle
где \left\langle ,\right\rangle — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q:
\left\langle x,y\right\rangle := \frac{1}{2}\left( Q(x+y)-Q(x)-Q(y) \right)
  • Пусть e_1,e_2,\dots,e_n — некоторый базис K-модуля E, тогда элементы вида
    1, e_{j_1}e_{j_2}\dots e_{j_k}\ (j_1<\dots<j_k, для всех k от 1 по n) или, иначе: e_1^{\sigma_1}e_2^{\sigma_2}\dots e_n^{\sigma_n} где \sigma_j = 0,1 образуют базис K-модуля Cl(Q). В частности, Cl(Q) является свободным K-модулем ранга (размерности) 2^n
    • Если, кроме того, e_1,e_2,\dots,e_n ортогональны относительно Q, то Cl(Q) можно задать как K-алгебру с образующими 1, e_1,e_2,\dots,e_n и определяющими соотношениями e_i e_j + e_j e_i = 0, (i\not=j) и e_i^2= Q(e_i,e_i).
  • Алгебра Клиффорда обладает Z2-градуировкой. В частности, подмодуль в Cl(Q), порождённый произведениями чётного числа элементов из E, образует подалгебру в Cl(Q), которая обозначается через Cl^+(Q).
  • Пусть K — поле и квадратичная форма Q(,) невырождена
    • тогда при чётном n алгебра Cl(Q) является центральной простой алгеброй над K размерности 2^n, подалгебра Cl^+(Q) сепарабельна, а её центр имеет размерность 2 над K.
  • Если K алгебраически замкнуто, то
    • при чётном n Cl(Q)матричная алгебра, a Cl^+(Q) — произведение двух матричных алгебр,
    • при нечётном n, наоборот, Cl^+(Q) — матричная, а Cl(Q) — произведение двух матричных алгебр.

Матричные представления алгебр Клиффорда[править | править исходный текст]

Уравнение Дирака — важный пример применения представлений CL_3,1(ℝ), которые впервые изучены Этторе Майорана.

Ссылки[править | править исходный текст]