Алгебра Клиффорда

Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом, впервые рассмотренная Клиффордом.

Определение

Пусть $K$ — коммутативное кольцо с единицей, $E$ — свободный K-модуль, $Q$ — квадратичная форма на $E$. Алгеброй Клиффорда квадратичной формы $Q$ (или пары $(E, Q)$) называется факторалгебра $Cl(E, Q)$ тензорной алгебры $T(E)$, $K$-модуля $E$ по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида

$x \otimes x - Q(x,x)1,~~x\in E$

Элементы (векторы) из $E$, являясь тензорами ранга 1, рассматриваются также и как элементы $Cl(Q)$, причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей:

$E \hookrightarrow Cl(Q)$.

Комментарий

Обычно в качестве $K$ рассматривают поля вещественных либо комплексных чисел, тогда $E$ — линейное пространство, и в качестве $Q$ используется присущая этому пространству структура скалярного произведения.

Свойства

• Если характеристика кольца K не равна двум, то для любых $x, y \in E$ имеет место тождество

  $x\otimes y + y\otimes x = 2 \left\langle x,y\right\rangle$

где $\left\langle ,\right\rangle$ — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q:

$\left\langle x,y\right\rangle = \frac{1}{2}\left( Q(x+y)-Q(x)-Q(y) \right)$

• Для нулевой квадратичной формы $Q$ алгебра $Cl(E,Q)$ совпадает со внешней алгеброй $\Lambda(E)$ $K$-модуля $E$.

• Пусть $e_1,e_2,\dots,e_n$ — базис $K$-модуля $E$, тогда элементы

  $1, e_{j_1}e_{j_2}\dots e_{j_k}\ (j_1<\dots<j_k,$ для всех k от 1 до n включительно)

или, иначе: $e_1^{\sigma_1}e_2^{\sigma_2}\dots e_n^{\sigma_n}$ где $\sigma_j = 0,1$ образуют базис $K$-модуля $Cl(Q)$. В частности, $Cl(Q)$ является свободным $K$-модулем ранга (размерности) $2^n$. Если, кроме того, $e_1,e_2,\dots,e_n$ ортогональны относительно $Q$, то $Cl(Q)$ можно задать как $K$-алгебру с образующими $1, e_1,e_2,\dots,e_n$ и определяющими соотношениями $e_i e_j + e_j e_i = 0$, ($i\not=j$) и $e_i^2= Q(e_i,e_i)$.

• Алгебра Клиффорда обладает Z₂-градуировкой. В частности, подмодуль в $Cl(Q)$, порождённый произведениями чётного числа элементов из $E$, образует подалгебру в $Cl(Q)$, которая обозначается через $Cl^+(Q)$.

• Пусть $K$ — поле и квадратичная форма $Q$ невырождена.
  • При чётном n алгебра $Cl(Q)$ является центральной простой алгеброй над $K$ размерности $2^n$, подалгебра $Cl^+(Q)$ сепарабельна, а её центр имеет размерность $2$ над $K$.
• Если $K$ алгебраически замкнуто, то
  • при чётном $n$ $Cl(Q)$ — матричная алгебра, a $Cl^+(Q)$ — произведение двух матричных алгебр,
  • если же $n$ нечётно, то, наоборот, $Cl^+(Q)$ — матричная, а $Cl(Q)$ — произведение двух матричных алгебр).