Алгебра Кэли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается \mathbb{O}, поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.

Число Кэли — это линейная комбинация элементов ~\{1, i, j, k, l, il, jl, kl\}. Каждая октава x может быть записана в форме

x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl.

с вещественными коэффициентами ~x_i. Октонионы находят применение в физике: например, в СТО и теории струн[1]. Таблица умножения элементов октавы:

1 i (e1) j (e2) k (e3) l (e4) il (e5) jl (e6) kl (e7)
i (e1) −1 k j il l kl jl
j (e2) k −1 i jl kl l il
k (e3) j i −1 kl jl il l
l (e4) il jl kl −1 i j k
il (e5) l kl jl i −1 k j
jl (e6) kl l il j k −1 i
kl (e7) jl il l k j i −1
Плоскость Фано для мнемонического запоминания таблицы умножения

Таблица (Кэли) умножения октонионов[2]

e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e1 -1 e3 −e2 e5 −e4 −e7 e6
e2 −e3 -1 e1 e6 e7 −e4 −e5
e3 e2 −e1 -1 e7 −e6 e5 −e4
e4 −e5 −e6 −e7 -1 e1 e2 e3
e5 e4 −e7 e6 −e1 -1 −e3 e2
e6 e7 e4 −e5 −e2 e3 -1 −e1
e7 −e6 e5 e4 −e3 −e2 e1 -1

Часто числа могут заменяться буквенным обозначением:

Число 1 2 3 4 5 6 7
Буквы i j k l il jl kl
Замена i j k l m n o

Свойства[править | править вики-текст]

Сопряжение и норма[править | править вики-текст]

Пусть дан октонион

x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl

Операция сопряжения октониона x определена равенством

x^* = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl.

Операция сопряжения удовлетворяет равенствам

( xy)^*=y^* x^*
 x^* =-\frac 16 (x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl))

Вещественная часть октониона x определена равенством

 \frac 12(x + x^*) = x_0

и мнимая часть октониона x определена равенством

 \frac 12(x - x^*)

Норма октониона x определена равенством

\|x\| = \sqrt{x^* x}.

Легко убедиться, что норма неотрицательное вещественное число

\|x\|^2 = x^{*}x = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2.

Следовательно, \|x\|=0 тогда и только тогда, когда x=0.

Из определения нормы следует, что октонион x\ne 0 обратим и

x^{-1} = \frac {x^*}{\|x\|^2}.

История[править | править вики-текст]

Впервые рассмотрена в 1843 Грейвсом, приятелем[3] Гамильтона, а двумя годами позже независимо Кэли.

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Ian Stewart: The Missing Link (недоступная ссылка с 19-05-2013 (498 дней) — история) (англ.). Ссылка недоступна по состоянию на 6 ноября 2010.
    Статья The missing link на yahoo.com, русский перевод на scientific.ru.
  2. Антисимметрия по диагонали для −1
  3. Куда же спряталась самая свободная алгебра? (HTML) (26-01-2003). Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.