Алгебра Кэли

А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается $\mathbb{O}$, поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.

Число Кэли — это линейная комбинация элементов $~\{1, i, j, k, l, il, jl, kl\}$. Каждая октава x может быть записана в форме

$x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl.$

с вещественными коэффициентами $~x_i$. Октонионы находят применение в физике: например, в СТО и теории струн. Таблица умножения элементов октавы:

1	i (e1)	j (e2)	k (e3)	l (e4)	il (e5)	jl (e6)	kl (e7)
i (e1)	−1	k	−j	il	−l	−kl	jl
j (e2)	−k	−1	i	jl	kl	−l	−il
k (e3)	j	−i	−1	kl	−jl	il	−l
l (e4)	−il	−jl	−kl	−1	i	j	k
il (e5)	l	−kl	jl	−i	−1	−k	j
jl (e6)	kl	l	−il	−j	k	−1	−i
kl (e7)	−jl	il	l	−k	−j	i	−1

Плоскость Фано для мнемонического запоминания таблицы умножения

Таблица (Кэли) умножения октонионов

e0	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e1	-1	e3	−e2	e5	−e4	−e7	e6
e2	−e3	-1	e1	e6	e7	−e4	−e5
e3	e2	−e1	-1	e7	−e6	e5	−e4
e4	−e5	−e6	−e7	-1	e1	e2	e3
e5	e4	−e7	e6	−e1	-1	−e3	e2
e6	e7	e4	−e5	−e2	e3	-1	−e1
e7	−e6	e5	e4	−e3	−e2	e1	-1

Часто числа могут заменяться буквенным обозначением:

Число	1	2	3	4	5	6	7
Буквы	i	j	k	l	il	jl	kl
Замена	i	j	k	l	m	n	o

Свойства

• По теореме Фробениуса, алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.
• Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.

Сопряжение и норма

Пусть дан октонион

$x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl$

Операция сопряжения октониона $x$ определена равенством

$x^* = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl.$

Операция сопряжения удовлетворяет равенствам

$( xy)^*=y^* x^*$

$x^* =-\frac 16 (x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl))$

Вещественная часть октониона $x$ определена равенством

$\frac 12(x + x^*) = x_0$

и мнимая часть октониона $x$ определена равенством

$\frac 12(x - x^*)$

Норма октониона $x$ определена равенством

$\|x\| = \sqrt{x^* x}$.

Легко убедиться, что норма неотрицательное вещественное число

$\|x\|^2 = x^{*}x = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2.$

Следовательно, $\|x\|=0$ тогда и только тогда, когда $x=0$.

Из определения нормы следует, что октонион $x\ne 0$ обратим и

$x^{-1} = \frac {x^*}{\|x\|^2}.$

История

Впервые рассмотрена в 1843 Грейвсом, приятелем Гамильтона, а двумя годами позже независимо Кэли.

Ссылки

• Джон С. Баэз «Октонионы», см. «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике» №1(5), Vol 3(2006) с.120-176.