Алгебра Ли

А́лгебра Ли — объект общей алгебры. Естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли.

Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (1842—1899).

Определение

Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется векторное пространство $\mathfrak{L}$ над полем $K$, снабжённое билинейным отображением

$\mathfrak{L}^2\to\mathfrak{L},\ \ (x, y)\mapsto[x, y],$

удовлетворяющим следующим двум аксиомам:

• $[x, x] = 0$;
• $[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0$ (тождество Якоби).

Другими словами, в алгебре Ли задана антикоммутативная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби. Эта операция называется коммутатор или скобка Ли.

Замечания

• Если характеристика поля $\mathrm{char}(K)\ne 2$, то тождество $[x,x]=0$ (для любых x) эквивалентно антикоммутативности $[x,y]+[y,x]=0$ (так как для скобки Ли всегда $[x,y]+[y,x]=[x+y,x+y]-[x,x]-[y,y]$).
• Понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма определяются обычным образом.
• Иногда в определении алгебры Ли векторное пространство заменяют на унитарный K-модуль (модуль над коммутативным кольцом с единицей).

Примеры

3-мерное векторное пространство

Обычное трёхмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

Линейные алгебры Ли

Если $V$ — конечномерное векторное пространство над $K$ ($\mathrm{dim}\;V=n$), то множество его линейных преобразований $\mathrm{End}\;V$ — также векторное пространство над $K$. Оно имеет размерность $\mathrm{dim}(\mathrm{End}\;V)=n^2$ и может быть представлено как пространство матриц $n\times n$. В этом векторном пространстве задана естественная операция умножения (композиция преобразований). Определим операцию скобки Ли формулой $[x,y]=xy-yx$. Пространство $\mathrm{End}\;V$ с так введённой скобкой Ли удовлетворяет всем аксиомам алгебры Ли.

Чтобы отличать получившуюся алгебру Ли от изначальной ассоциативной алгебры линейных преобразований, её обозначают $\mathfrak{gl}\;(V)$. Эта алгебра Ли называется полной линейной алгеброй. В случае бесконечномерного пространства V также используется обозначение $\mathfrak{gl}\;(V)$. Любая подалгебра в $\mathfrak{gl}\;(V)$ называется линейной алгеброй Ли

Ассоциативные алгебры над K и умножение в K-модуле

Пусть $\mathfrak{A}$ — произвольная ассоциативная алгебра над $K$ с умножением: $(x,y)$ → $xy$. Она обладает естественной структурой алгебры Ли над $K$, если определить скобку Ли через ассоциативное умножение по формуле: $[x, y] = xy - yx$, это выражение называется коммутатором. Заметим, что обратное утверждение неверно: скобка Ли в общем случае не позволяет ввести ассоциативное умножение, поэтому не всякая алгебра Ли является в то же время ассоциативной алгеброй.

Алгебра Ли векторных полей

Если M — гладкое многообразие, пространство всех заданных на нем дифференцируемых векторных полей образует бесконечномерную алгебру Ли. Операция, превращающая векторные поля в алгебру Ли, может быть описана несколькими эквивавалентными способами:

• Используя производную Ли от поля Y по направлению поля X

$[X, Y] \equiv L_X Y$.

• Если на многообразии задана локальная система координат $(t_1,...,t_n)$, то в координатном представлении коммутатор векторных полей равен

$[X, Y]^i = X^j \partial_j Y^i - Y^j \partial_j X^i,$

где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу j и

$\partial_j Y^i(t_1,...,t_n)=\frac{\partial}{\partial t_{j}}Y^i(t_1,...,t_n)$,

$\partial_j X^i(t_1,...,t_n)=\frac{\partial}{\partial t_{j}}X^i(t_1,...,t_n)$

частные производные от функций $Y^i(t_1,...,t_n),X^i(t_1,...,t_n)$ вдоль направлений t_j.

• выбрав произвольную риманову метрику на многообразии, можно показать:

$[X, Y] = \nabla_X Y - \nabla_Y X$

где X, Y — векторные поля, а $\nabla_X$ — ковариантная производная по направлению векторного поля X. Эквивалентность с определениями данными выше показывает, что результат на самом деле не зависит от выбора метрики.

• векторные поля взаимно однозначно соответствуют дифференцированиям алгебры функций на многообразии, коммутатор дифференцирований снова является дифференцированием (см. следующий пункт) и значит задает векторное поле.

Тождество Якоби для алгебры векторных полей можно переписать как правило Лейбница для производной Ли:

$[X,[Y,Z]] = [[X,Y],Z] + [Y,[X,Z]] \Longleftrightarrow L_X [Y,Z] = [L_X Y, Z] + [Y, L_X Z]$

Замечание: группу диффеоморфизмов многообразия следует неформально считать «группой Ли» для алгебры Ли векторных полей на многообразии. Хотя в бесконечномерном случае, соответствие между группами и алгебрами Ли не носит формального характера, тем не менее многие свойства могут быть легко обобщены, (хотя некоторые перестают быть верными).

Множество всех дифференцирований K-алгебр и алгебр Ли

Дифференцированием в алгебре $\mathfrak{A}$ называется линейное отображение $\delta:\mathfrak{A}\to\mathfrak{A}$, удовлетворяющее правилу Лейбница дифференцирования произведения $\delta(ab)=a\delta(b)+\delta(a)b$. Совокупность всех дифференцирований $\operatorname{Der}\;\mathfrak{A}$ является векторным подпространством в $\operatorname{End}\;\mathfrak{A}$. Коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием, поэтому $\operatorname{Der}\;\mathfrak{A}$ — подалгебра в $\mathfrak{gl(A)}$.

Наряду с дифференцированиями произвольных алгебр можно рассматривать частный случай дифференцирования алгебры Ли $L$. В алгебрах Ли некоторые дифференцирования возникают естественным способом. Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры $L$ вида $\operatorname{ad}\;x\colon y\to[x, y]; x, y \in L$. Такие дифференцирования называются внутренними , остальные — внешними. Отображение $L\to\operatorname{Der}\;L;\; x\mapsto\operatorname{ad}\;x$ называется присоединённым представлением алгебры Ли.

Внутренние дифференцирования образуют в $\operatorname{Der}(L)$ подалгебру $\operatorname{ad}\;L$, изоморфную факторалгебре $L/Z(L)$ алгебры $L$ по её центру $Z(L):=\{x \in L \mid [x,y] = 0; \forall y\in L\}$.

См. также

• Группа Ли
• Производная Ли
• Дифференциальная геометрия и топология
• Коммутатор операторов

Литература

• Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли, — М.: Мир, 1969.
• Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld — «Мир математических уравнений».
• Семинар «Софус Ли». Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. — М.: ИЛ, 1962 (djvu).
• Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М.: ИЛ, 1960 (djvu)
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы I—III. М.: Мир, 1976. 496 с.
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Глава IX. М.: Мир, 1986. 174 с.
• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений — М. МЦНМО, 2003.