Алгебра Ли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

А́лгебра Ли — объект общей алгебры. Естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли.

Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (18421899).

Определение[править | править вики-текст]

Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется векторное пространство \mathfrak{L} над полем K, снабжённое билинейным отображением

\mathfrak{L}^2\to\mathfrak{L},\ \ (x, y)\mapsto[x, y],

удовлетворяющим следующим двум аксиомам:

Другими словами, в алгебре Ли задана антикоммутативная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби. Эта операция называется коммутатор или скобка Ли.

Замечания[править | править вики-текст]

Примеры[править | править вики-текст]

3-мерное векторное пространство[править | править вики-текст]

Обычное трёхмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

Линейные алгебры Ли[править | править вики-текст]

Если V — конечномерное векторное пространство над K (\mathrm{dim}\;V=n), то множество его линейных преобразований \mathrm{End}\;V — также векторное пространство над K. Оно имеет размерность \mathrm{dim}(\mathrm{End}\;V)=n^2 и может быть представлено как пространство матриц n\times n. В этом векторном пространстве задана естественная операция умножения (композиция преобразований). Определим операцию скобки Ли формулой [x,y]=xy-yx. Пространство \mathrm{End}\;V с так введённой скобкой Ли удовлетворяет всем аксиомам алгебры Ли.

Чтобы отличать получившуюся алгебру Ли от изначальной ассоциативной алгебры линейных преобразований, её обозначают \mathfrak{gl}\;(V). Эта алгебра Ли называется полной линейной алгеброй. В случае бесконечномерного пространства V также используется обозначение \mathfrak{gl}\;(V). Любая подалгебра в \mathfrak{gl}\;(V) называется линейной алгеброй Ли

Ассоциативные алгебры над K и умножение в K-модуле[править | править вики-текст]

Пусть \mathfrak{A} — произвольная ассоциативная алгебра над K с умножением: (x,y)xy. Она обладает естественной структурой алгебры Ли над K, если определить скобку Ли через ассоциативное умножение по формуле: [x, y] = xy - yx, это выражение называется коммутатором. Заметим, что обратное утверждение неверно: скобка Ли в общем случае не позволяет ввести ассоциативное умножение, поэтому не всякая алгебра Ли является в то же время ассоциативной алгеброй.

Алгебра Ли векторных полей[править | править вики-текст]

Если M — гладкое многообразие, пространство всех заданных на нем дифференцируемых векторных полей образует бесконечномерную алгебру Ли. Операция, превращающая векторные поля в алгебру Ли, может быть описана несколькими эквивавалентными способами:

[X, Y] \equiv L_X Y.
  • Если на многообразии задана локальная система координат  (t_1,...,t_n), то в координатном представлении коммутатор векторных полей равен
[X, Y]^i = X^j \partial_j Y^i - Y^j \partial_j X^i,

где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу j и

\partial_j Y^i(t_1,...,t_n)=\frac{\partial}{\partial t_{j}}Y^i(t_1,...,t_n),
\partial_j X^i(t_1,...,t_n)=\frac{\partial}{\partial t_{j}}X^i(t_1,...,t_n)

частные производные от функций Y^i(t_1,...,t_n),X^i(t_1,...,t_n) вдоль направлений tj.

  • выбрав произвольную риманову метрику на многообразии, можно показать:
[X, Y] = \nabla_X Y - \nabla_Y X

где X, Y — векторные поля, а \nabla_X — ковариантная производная по направлению векторного поля X. Эквивалентность с определениями данными выше показывает, что результат на самом деле не зависит от выбора метрики.

  • векторные поля взаимно однозначно соответствуют дифференцированиям алгебры функций на многообразии, коммутатор дифференцирований снова является дифференцированием (см. следующий пункт) и значит задает векторное поле.

Тождество Якоби для алгебры векторных полей можно переписать как правило Лейбница для производной Ли:

[X,[Y,Z]] = [[X,Y],Z] + [Y,[X,Z]] \Longleftrightarrow L_X [Y,Z] = [L_X Y, Z] + [Y, L_X Z]

Замечание: группу диффеоморфизмов многообразия следует неформально считать «группой Ли» для алгебры Ли векторных полей на многообразии. Хотя в бесконечномерном случае, соответствие между группами и алгебрами Ли не носит формального характера, тем не менее многие свойства могут быть легко обобщены, (хотя некоторые перестают быть верными).

Множество всех дифференцирований K-алгебр и алгебр Ли[править | править вики-текст]

Дифференцированием в алгебре \mathfrak{A} называется линейное отображение \delta:\mathfrak{A}\to\mathfrak{A}, удовлетворяющее правилу Лейбница дифференцирования произведения \delta(ab)=a\delta(b)+\delta(a)b. Совокупность всех дифференцирований \operatorname{Der}\;\mathfrak{A} является векторным подпространством в \operatorname{End}\;\mathfrak{A}. Коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием, поэтому \operatorname{Der}\;\mathfrak{A} — подалгебра в \mathfrak{gl(A)}.

Наряду с дифференцированиями произвольных алгебр можно рассматривать частный случай дифференцирования алгебры Ли L. В алгебрах Ли некоторые дифференцирования возникают естественным способом. Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры L вида \operatorname{ad}\;x\colon y\to[x, y]; x, y \in L. Такие дифференцирования называются внутренними , остальные — внешними. Отображение L\to\operatorname{Der}\;L;\; x\mapsto\operatorname{ad}\;x называется присоединённым представлением алгебры Ли.

Внутренние дифференцирования образуют в \operatorname{Der}(L) подалгебру \operatorname{ad}\;L, изоморфную факторалгебре L/Z(L) алгебры L по её центру Z(L):=\{x \in L \mid [x,y] = 0; \forall y\in L\}.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]