Алгебра Темперли — Либа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебра Темперли — Либа — алгебра, при помощи которой строятся некоторые трансфер-матрицы[en]. Открыта Невиллом Темперли и Эллиотом Либом. Алгебра применяется в статистической механике, в теории интегрируемых моделей[en], имеет отношение теории узлов и групп кос, квантовым группам и подфакторам алгебр фон Неймана?!.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть R — коммутативное кольцо (чаще всего — поле вещественных чисел), в котором зафиксирован элемент \delta \in R. Алгеброй Темперли — Либа TL_n(\delta) называется R-алгебра образованная генераторами U_1, U_2, \ldots, U_{n-1}, подчиняющимися соотношениям Джонса:

  • U_i^2 = \delta U_i при 1 \leq i \leq n-1
  • U_i U_{i+1} U_i = U_i при1 \leq i \leq n-2
  • U_i U_{i-1} U_i = U_i при 2 \leq i \leq n-1
  • U_i U_j = U_j U_i при 1 \leq i,j \leq n-1, таких что |i-j| \neq 1

TL_n(\delta) можно представить как векторное пространство, с базисными векторами, каждый из которых представляет собой диаграмму в виде квадрата, на двух противоположных сторонах которого находятся по n точек. Точки образуют n пар, каждая пара соединена кривой, и никакие две кривые не пересекаются. Пять базисных векторов TL_3(\delta) выглядят следующим образом:

Basis of the Temperley-Lieb algebra .

Умножение двух базисных элементов происходит соединением двух квадратов стык-в-стык, после каждый образовавшийся цикл даёт множитель δ. Например,

Factor-a.svg × Factor-b.svg = Factor-a.svgFactor-b.svg = δ Concatenation-ab.svg.

Единичным элементом является диаграмма с n горизонтальными прямыми, а генератор U_i — диаграмма, в которой i-ая вершина соединена с i+1-ой, 2n − i + 1-ая точка — с 2n − i-ой точкой, а все остальные точки соединены с противоположными себе. К примеру, генераторами TL_5(\delta) являются:

Generators of the Temperley-Lieb algebra

Слева направо: тождественный элемент (единица) и генераторы U1, U2, U3, U4.

Соотношения Джонса можно изобразить графически:

E 2 Temperley.svg E 2 Temperley.svg = δ E 2 Temperley.svg

E 2 Temperley.svg E 3 Temperley.svg E 2 Temperley.svg = E 2 Temperley.svg

E 1 Temperley.svg E 4 Temperley.svg = E 4 Temperley.svg E 1 Temperley.svg

Ссылки для дальнейшего изучения[править | править исходный текст]