Алгебра вершинных операторов

Ричард Борчердс

Алгебры вершинных операторов впервые были введены Ричардом Борчердсом (англ.) в 1986 году. Имеет важное значение для теории струн, конформной теории поля (англ.) и для смежных областей физики. Аксиомы алгебры вершинных операторов — это формальная алгебраическая интерпретация того, что физики называют хиральной алгеброй.

Алгебры вершинных операторов оказались полезными в чисто математических направлениях, таких как геометрическое соответствие Ленглендса (англ.).

Примеры

• Решётка Z в R даёт супералгебру вершинных операторов, соответствующую одному комплексному фермиону. Это еще один способ формулировки бозонно-фермионного соответствия. Фермионное поле ψ(z) и его сопряжённое поле ψ^†(z) определяются выражением:

$\psi(z)=\sum e_nz^{-n-1},\,\,\, \psi^\dagger(z)=\sum e_n^*z^n,\,\,\,\{e_n,e_m\}=0,\,\,\,\{e_m,e_n^*\}=\delta_{m,n}I.$

Соответствие между фермионами и одним заряженным бозонным полем

$\phi(z)=\sum a_nz^{-n-1},\,\,\, [a_m,a_n]=m\delta_{n+m,0}I,\,\, Ua_nU^{-1}=a_n - \delta_{n,0}I$

принимает вид

$\phi(z)=\,:\,\psi^\dagger(z)\psi(z)\,:$

$\psi(z)=U \,:\,\exp \, \int \phi(z) \,:$

где нормальные экспоненты интерпретируется как вершинные операторы.

• Решётка √2 Z in R даёт алгебру вершинных операторов, соответствующую аффинной алгебре Каца — Муди (англ.) для SU(2) на первом уровне. Она реализуется полями

$H(z)=\phi(z)\otimes I - I\otimes \phi(z)$

$E(z)=\psi(z)\otimes \psi^\dagger(z)$

$F(z)=\psi^\dagger(z)\otimes \psi(z)$

Литература

• Леповски Д., Ли Х. Введение в вершинные операторные алгебры и их представления. — Ижевск: РХД 2008. 424с. ISBN 978-5-93972-664-1
• Кац В. Г. Вертексные алгебры для начинающих. Пер. с англ. — М.: МЦНМО, 2005. 200с. ISBN 5-94057-124-7.
• Шехтман В. В. Вертексные алгебры, связанные с алгебраическими многообразиями, с. 91-104.