Алгебра вершинных операторов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебры вершинных операторов впервые были введены Ричардом Борчердсом (англ.) в 1986 году. Имеет важное значение для теории струн, конформной теории поля (англ.) и для смежных областей физики. Аксиомы алгебры вершинных операторов — это формальная алгебраическая интерпретация того, что физики называют хиральной алгеброй.

Алгебры вершинных операторов оказались полезными в чисто математических направлениях, таких как геометрическое соответствие Ленглендса (англ.).

Примеры[править | править вики-текст]

  • Решётка Z в R даёт супералгебру вершинных операторов, соответствующую одному комплексному фермиону. Это еще один способ формулировки бозонно-фермионного соответствия. Фермионное поле ψ(z) и его сопряжённое поле ψ(z) определяются выражением:
\psi(z)=\sum e_nz^{-n-1},\,\,\, \psi^\dagger(z)=\sum e_n^*z^n,\,\,\,\{e_n,e_m\}=0,\,\,\,\{e_m,e_n^*\}=\delta_{m,n}I.
Соответствие между фермионами и одним заряженным бозонным полем
\phi(z)=\sum a_nz^{-n-1},\,\,\, [a_m,a_n]=m\delta_{n+m,0}I,\,\, Ua_nU^{-1}=a_n - \delta_{n,0}I
принимает вид
\phi(z)=\,:\,\psi^\dagger(z)\psi(z)\,:
 \psi(z)=U \,:\,\exp \, \int \phi(z) \,:
где нормальные экспоненты интерпретируется как вершинные операторы.
  • Решётка √2 Z in R даёт алгебру вершинных операторов, соответствующую аффинной алгебре Каца — Муди (англ.) для SU(2) на первом уровне. Она реализуется полями
H(z)=\phi(z)\otimes I - I\otimes \phi(z)
E(z)=\psi(z)\otimes \psi^\dagger(z)
F(z)=\psi^\dagger(z)\otimes \psi(z)

Литература[править | править вики-текст]