Алгебра над кольцом

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебра над кольцом — алгебраическая структура, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, как и понятие модуля, обобщает понятие векторного пространства.

Определения[править | править вики-текст]

Пусть K — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль A над кольцом K, в котором для заданного билинейного отображения (билинейного не над полем, а над кольцом K) f:A\times A\rightarrow A определено произведение согласно равенству ab=f(a,b) называется алгеброй над K или K-алгеброй.

Согласно определению для всех k,\;l\in K и a, b, c\in A справедливы соотношения:

  1. a(b+c)=ab+ac
  2. (a+b)c=ac+bc
  3. (k+l)a=ka+la
  4. k(a+b)=ka+kb
  5. k(la)=(kl)a
  6. k(ab)=(ka)b=a(kb)
  7.  1a=a, где 1 — единица кольца K

Относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.

Для a, b\in A коммутатор определён равенством [a,b]=ab-ba. K-алгебра называется коммутативной, если [a,b]=0.

Для a, b, c\in A ассоциатор определён равенством (a,b,c)=(ab)c-a(bc). K-алгебра называется ассоциативной, если (a,b,c)=0.

Если существует элемент e \in A такой, что ea = ae = a для всех a \in A, то e называется единицей алгебры A, а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия k(ab)=(ka)b=a(kb) требуют более слабое: k(ab)=(ka)b.

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение na (где n — целое число) обычно, то есть как сумму n копий a. Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если вместо билинейного отображения f выбрать полилинейное отображение g:A^n\rightarrow A и определить произведение согласно правилу: a_1 \dots a_n=g(a_1, \dots ,a_n), то полученная алгебраическая структура называется n-алгеброй.

Свободная алгебра[править | править вики-текст]

Если алгебра A над коммутативным кольцом K является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом K. Если алгебра A имеет конечный базис, то алгебра A называется конечномерной.

Если K является полем, то, по определению, K-алгебра является векторным пространством над K, а значит, имеет базис.

Базис конечномерной алгебры обычно обозначают e_1, \dots, e_n. Если алгебра имеет единицу e, то обычно единицу включают в состав базиса и полагают e_0=e. Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения:

e_ie_j=C^k_{ij}e_k.

А именно, если a=a^ke_k, b=b^ke_k, то произведение можно представить в виде:

ab=C^k_{ij}a^ib^je_k.

Величины C^k_{ij}\in K называются структурными константами алгебры A.

Если алгебра коммутативна, то:

C^k_{ij}=C^k_{ji}.

Если алгебра ассоциативна, то:

C^k_{ij}C^j_{ml}=C^j_{im}C^k_{jl}.

Свойства[править | править вики-текст]

Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем K можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над K.

Отображение алгебры[править | править вики-текст]

Возможно рассматривать алгебру A над коммутативным кольцом K как модуль A над коммутативным кольцом K. Отображение f:A\rightarrow B алгебры A над коммутативным кольцом K в алгебру B над кольцом K называется линейным, если:

f(a+b)=f(a)+f(b),
f(ka)=kf(a).

для любых a, b\in A, k\in K. Множество линейных отображений алгебры A в алгебру B обозначается символом \mathcal L(A;B).

Линейное отображение f:A\rightarrow B алгебры A в алгебру B называется гомоморфизмом, если f(ab)=f(a)f(b) для любых a, b\in A, а также выполнено условие: если алгебры A и B имеют единицу, то:

f(e_A)=e_B.

Множество гомоморфизмов алгебры A в алгебру B обозначается символом H(A;B).

Очевидно, что H(A;B)\subseteq\mathcal L(A;B).

Примеры[править | править вики-текст]

Общие:

Алгебры над полем вещественных чисел:

Литература[править | править вики-текст]

  • Скорняков Л. А.; Шестаков И. П. Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / под общей редакцией Скорнякова Л. А.. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.