Алгебра над кольцом

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Пусть K — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Кольцо A (не обязательно ассоциативное) называется алгеброй над K или K-алгеброй, если для любых элементов , однозначно определено произведение , причем для всех и справедливы соотношения

1. (k + l)a = ka + la
2. k(a + b) = ka + kb
3. k(la) = (kl)a
4. k(ab) = (ka)b = a(kb)
5. 1a = a, где 1 — единица кольца K

Если существует элемент такой, что ea = ae = a для всех , то e называется единицей алгебры A, а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия 4 требуют более слабое:

k(ab) = (ka)b

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение na (где n — целое число) обычно, то есть как сумму n копий a. Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

[править] Алгебра над полем

Если K является полем, то, по определению, K-алгебра является векторным пространством над K, а значит, имеет базис. Это дает возможность строить алгебры над полем по базису, для чего достаточно задать таблицу умножения базисных элементов. Однако, такой подход удобен только для конечномерных алгебр.

[править] Свойства

• Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем K можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над K.

[править] Примеры

• Общие
  • алгебры квадратных матриц,
  • алгебры многочленов
• Алгебры над полем вещественных чисел
  • Комплексные числа
  • Двойные числа
  • Дуальные числа
  • Кватернион