Алгебра над кольцом

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории колец, алгеброй над кольцом называется алгебраическая структура, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причем эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, так же как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.

Пусть K\displaystyle — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль A\displaystyle над кольцом K\displaystyle, в котором для заданного билинейного отображения (билинейного не над полем, а над кольцом K)

f:A\times A\rightarrow A

определено произведение согласно равенству

ab=f(a,b)\displaystyle

называется алгеброй над K\displaystyle или K\displaystyle-алгеброй.

Согласно определению для всех k,\;l\in K и a\displaystyle, b\displaystyle, c\in A справедливы соотношения

  1. a(b+c)=ab+ac\displaystyle
  2. (a+b)c=ac+bc\displaystyle
  3. (k+l)a=ka+la\displaystyle
  4. k(a+b)=ka+kb\displaystyle
  5. k(la)=(kl)a\displaystyle
  6. k(ab)=(ka)b=a(kb)\displaystyle
  7.  1a=a\displaystyle, где 1\displaystyle — единица кольца K\displaystyle

Нетрудно убедиться, что относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.

Для a\displaystyle, b\in A коммутатор определён равенством

[a,b]=ab-ba\displaystyle

K\displaystyle-алгебра называется коммутативной, если

[a,b]=0\displaystyle

Для a\displaystyle, b\displaystyle, c\in A ассоциатор определён равенством

(a,b,c)=(ab)c-a(bc)\displaystyle

K\displaystyle-алгебра называется ассоциативной, если

(a,b,c)=0\displaystyle

Если существует элемент e \in A\displaystyle такой, что ea = ae = a\displaystyle для всех a \in A, то e\displaystyle называется единицей алгебры A\displaystyle, а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия 6 требуют более слабое:

k(ab)=(ka)b\displaystyle

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение na\displaystyle (где n\displaystyle — целое число) обычно, то есть как сумму n\displaystyle копий a\displaystyle. Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если вместо билинейного отображения f\displaystyle выбрать полилинейное отображение

g:A^n\rightarrow A

и определить произведение согласно правилу

a_1...a_n=g(a_1,...,a_n)\displaystyle

то полученная алгебраическая структура называется n\displaystyle-алгеброй.

Свободная алгебра[править | править исходный текст]

Если алгебра A\displaystyle над коммутативным кольцом K\displaystyle является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом K\displaystyle. Если алгебра A\displaystyle имеет конечный базис, то алгебра A\displaystyle называется конечномерной.

Если K\displaystyle является полем, то, по определению, K\displaystyle-алгебра является векторным пространством над K\displaystyle, а значит, имеет базис.

Базис конечномерной алгебры обычно обозначают e_1\displaystyle, ..., e_n\displaystyle. Если алгебра имеет единицу e\displaystyle, то обычно единицу включают в состав базиса и полагают e_0=e\displaystyle. Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения

e_ie_j=C^k_{ij}e_k

А именно, если a=a^ke_k\displaystyle, b=b^ke_k\displaystyle, то произведение можно представить в виде

ab=C^k_{ij}a^ib^je_k

Величины C^k_{ij}\in K называются структурными константами алгебры A\displaystyle.

Если алгебра коммутативна, то

C^k_{ij}=C^k_{ji}

Если алгебра ассоциативна, то

C^k_{ij}C^j_{ml}=C^j_{im}C^k_{jl}

Свойства[править | править исходный текст]

  • Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем K можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над K.

Отображение алгебры[править | править исходный текст]

Мы можем рассматривать алгебру A\displaystyle над коммутативным кольцом K\displaystyle как модуль A\displaystyle над коммутативным кольцом K\displaystyle. Отображение

f:A\rightarrow B

алгебры A\displaystyle над коммутативным кольцом K\displaystyle в алгебру B\displaystyle над кольцом K\displaystyle называется линейным, если

f(a+b)=f(a)+f(b)\displaystyle
f(ka)=kf(a)\displaystyle

для любых a\displaystyle, b\in A, k\in K. Множество линейных отображений алгебры A\displaystyle в алгебру B\displaystyle обозначается символом \mathcal L(A;B).

Линейное отображение

f:A\rightarrow B

алгебры A\displaystyle в алгебру B\displaystyle называется гомоморфизмом, если

f(ab)=f(a)f(b)\displaystyle

для любых a\displaystyle, b\in A, а также выполнено условие: если алгебры A\displaystyle и B\displaystyle имеют единицу, то

f(e_A)=e_B\displaystyle

Множество гомоморфизмов алгебры A\displaystyle в алгебру B\displaystyle обозначается символом H(A;B)\displaystyle.

Очевидно, что H(A;B)\subseteq\mathcal L(A;B).

Примеры[править | править исходный текст]